немає чисел 2 та 5, то Дріб превращается в чистий періодічній Дріб; при цьом число цифр у періоді дорівнює порядку числа 10 за модулем b.
Доведення.
превратить Дріб в десятковій означає представіті его у виде:
Де За теореми 1 Дріб буде нескінченнім.
У силу того, что
Першу цифру можна найти як неповна частко від ділення числа на. Друга цифра - це неповна частко від ділення числа 10 () на, оскількі
.
Перепішемо у виде рівностей:
,
,
де - неповні Частки, а - остачі від ділення на число. Жодна Із остач НЕ может дорівнюваті нулю, оскількі тоді Дріб БУВ бі скінченнім. Крім того,, того в сістемі рівностей (1) остачі будут повторюватісь НЕ пізніше чем через кроків.
За умів Тоді з Першої рівності системи (1) віпліває, что, звідки для всіх тобто всі належати до ЗСЛ ().
Нехай - порядок числа 10 за модулем. Оскількі Кожна з остач (в тому числі) належати до ЗСЛ (), то конгруенція рівносільна Наступний конгруенціям:
Це означає, что через кроків ділення всі остачі будут повторюватісь и Першів повторитися остача. Відповідно будут повторюватісь и неповні Частки.
Таким чином, Дріб буде чистимо періодічнім, и Кількість цифр у періоді дорівнюватіме. Теорему доведено.
Теорема3
Если канонічній розклад числа має вигляд
, то Дріб превращается у мішаній періодічній; при цьом Кількість цифр до ПЕРІОДУ дорівнює, а Кількість цифр у періоді-порядку числа 10 за модулем с.
Доведення.
Нехай Розглянемо Дріб:
Оскількі, c, то Если в силу теореми 2,
Тобто тверджень теореми віконується.
Если, то, де - Ціла частина числа,, В силу теоремі 2, звідки Оскількі, то Дріб отрімаємо перенесеного в чіслі комі вліво на цифр.
Теорему доведено.
2. Цікаві Властивості періодичних дробів
Мі ознайомитись, з трьома видами періодичних дробів, но навряд чи хтось уявляє скільки несподіванок містять в Собі ЦІ дробу. Розглянемо три приклада періодичних дробів:
Чи не Важко замітіті, что у дробів период почінається відразу после комі и складається з шести цифр (142857 и 076923 відповідно), а у дробом ВІН почінається з третьої Цифри после комі складається з однієї цифри - 3. Розглянувші уважности періоді чисел можна помітіті ще одну закономірність. А самє, покладемо N=142857 (период дріб) и будемо послідовно множіті N на 2,3,4, ...:
2N=285714,
N=428571,
N=п'ятсот сімдесят одна тисяча чотиреста двадцять вісім,
N=714285,
N=857142,
N=999999.
Чи не Важко помітіті, что Перші п ять чисел утворюються з числа N «Шляхом круговою перестановки» цифр n цифр з кінця «переїжджають» на качан);
А число 7N складається з одних дев яток. Тепер теж самє зробимо з дробом (N=076 923):
N=153846,
N=230769,
N=307692,
N=384615,
N=+461538,
N=538461,
N=615384,
N=692307,
N=769230,
N=846153,
N=923076,
N=999999.
Як, бачим в цьом випадка виходе трішки по-інакшому, но все одне Дуже цікаво: п ять з ціх чисел (3N, 4N, 9N, 10N, 12N) отримується з числа N круговою перестановки цифр, Інші Шість чисел (2N, 5N, 6N, 7N, 8N, 11N) отримуються з числа N путем кругової перестановки цифр одна Із одного, и звісно, ??число 13N складається лишь з одних дев яток.
Можемо спостерігаті ще одну цікаву річ, если взяти будь-які Із віпісаніх вищє шестизначний чисел, крім 999999, «розламаті» его на два трьох значних числа и найти суму ціх половинок, то отрімаємо 999.
например, 142 + 857=999 і т.д.
Дійсно, періодичні дроби містять в Собі много Загадкова. Деякі з ціх загадок розв язані ї досі. Много математіків намагаліся вірішіті Цю проблему, розглянемо Деяк таких робіт.
2.1 Захоплення Йоганна Бернуллі
...
