Введення
На сьогоднішній день практично кожна людина в світі щодня користується такими благами цивілізації, як комп'ютери, мобільні телефони, калькулятори тощо. Люди стали гостро залежати від мережевого спілкування і від Інтернет-ресурсів, що дозволяють знайти потрібну нам інформацію набагато швидше, ніж при пошуку її традиційними способами в книгах, газетах, журналах. Проте мало хто замислюється про те, яким чином працюють наші електронні «помічники».
Математичної основою цифрової техніки є алгебра логіки, розроблена в середині XIX століття англійським математиком Джорджем Булем. На честь свого «батька» алгебру логіки також називають булевої алгеброю. Можливість її застосування в техніці помітив вперше в 1910 році відомий фізик П. Еренфест. Доказ такої можливості привів і обгрунтував у своїх роботах радянський фізик В. І. Шестаков.
Булева алгебра оперує зі змінними, які приймають тільки лише два значення - 0 і 1, тобто з двійковими змінними. Функція довічних змінних, приймаюча ті ж два значення, називається логічною функцією або булевої функцією.
Теорія булевих функцій, починаючи з минулого століття і продовжуючи сьогоднішнім днем, є теоретичною базою сучасних ЕОМ. Виникло поняття алгоритму, і це дуже допомагає вирішувати багато досі нерозв'язні проблеми. Саме через математичну логіку і теорію алгоритмів зараз математичні методи проникають в економіку, біологію, лінгвістику і багато інших наук.
Метою моєї курсової роботи є розгляд і вивчення одного із способів приведення логічних функцій до більш короткого увазі, точніше - приведення логічних функцій до многочлену (полиному) Жегалкина.
Розроблений на початку ХХ століття російським математиком Іваном Івановичем Жегалкина вид логічного многочлена зараз широко застосовується в самих різних сферах людської діяльності - починаючи від криптографії (шифрування даних для їх заощадження від сторонніх очей) і закінчуючи застосуванням у суматорах -аналого-цифрових пристроях, які реалізують логічну операцію «виключає АБО», яку також називають сумою по модулю 2. До слова, суматори є обов'язковою частиною будь-якого аналого-цифрового пристрою, будь-якого без винятків процесора.
логічні операції
Висловлення - оповідної пропозицію. Про нього можна сказати або, що воно істинно, або, що воно помилково, але ні в якому разі не істинно і хибно одночасно. У логіці чільне значення у висловленні має не його значення, а істинність його або хибність. Істинне значення висловлювання приймають за «1», а хибне - за «0». Тобто існує безліч {1, 0}, яке називається безліччю істинних значень.
Алгебру висловлювань також називають булевої алгеброю, а змінні, що приймають значення 1 і 0 називають булевими змінними.
Логічна операція (оператор, зв'язка) - операція над висловлюваннями, яка дозволяє складати нові висловлювання, з'єднуючи висловлювання більш прості.
Найпростіші зв'язки
. Диз'юнкція - операція «АБО», звана також логічної сумою. Диз'юнкцією висловлювань Х і Y називають висловлювання, що позначається як Х? Y (або Х + Y) і представляє собою помилкове висловлення в тому випадку, коли Х і Y помилкові, і справжнє висловлювання у всіх інших випадках.
Таблиця істинності для диз'юнкції
ХYХ? Y000011101111
2. Кон'юнкція - операція «І», яку також називають логічним твором. Кон'юнкція висловлювань Х і Y називають висловлювання, що позначається як Х? Y (або Х? Y) і представляє собою справжнє висловлювання в тому випадку, коли Х і Y істинні, і хибне висловлювання у всіх інших випадках.
Таблиця істинності для кон'юнкції
000010100111
. Заперечення, зване також інверсією, висловлювання Х називають висловлювання, що позначається як, яке є хибним при істинному Х і істинним при помилковому Х.
Таблиця істинності для заперечення
0110
. Импликацией (логічне проходження) висловлювань Х і Y називається висловлення, що позначається Х? Y, яке є хибним тільки в тому випадку, коли Х істинно, а Y - помилково. В інших випадках імплікація є істинною.
Логічне слідування являє собою зворот «якщо Х, то Y». Наприклад, «якщо я здам курсову з дискретної математики вчасно, то у мене її приймуть».
Таблиця істинності для імплікації:
001011100111
Імплікація - не симетричні логічна операція, тобто висловлювання і не є еквівалентними (рівними).
