МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
ФГАОУ ВПО ПІВДЕННИЙ федеральний університет
Факультет природничо-математичної освіти
Кафедра математики, алгебри і математичного аналізу
Курсова робота
Циклічні підгрупи і групи
Виконавець: студентка 2 курсу
факультету математики, інформатики та фізики
Щелчкова К.В.
Науковий керівник: ст. ін. Авдєєва А.А.
Ростов-на-Дону
Зміст
Введення
Теоретична частина
§ 1. Групи. Різні визначення. Приклади
§ 2. Властивості груп
§ 3. Мультиплікативні циклічні підгрупи і групи
§ 4. Адитивні циклічні підгрупи і групи
§ 5. Теорема Лагранжа і наслідки з неї
Висновок
Література
Введення
Дана робота присвячена розгляду теми Циклічні підгрупи і групи .
Теорія груп - розділ загальної алгебри lt; # justify gt; · Вивчити і викласти елементи теорії груп, підгруп.
· Самостійно підібрати і виконати вправи практичного характеру.
Теоретична частина
§ 1. Групи. Різні визначення. Приклади
Визначення 1. Алгебраїчна система lt; A, * gt; називається групою , якщо А - півгрупа, в якій кожен елемент має нейтралізуючий.
Визначення 2. Алгебраїчна система lt; A, * gt; називається групою , якщо бінарна операція * асоціативна і оборотна на безлічі А.
Визначення 3. Алгебраїчна система lt; A, * gt; називається групою , якщо вона задовольняє наступним умовам:
) операція * асоціативна;
2) існує нейтральний елемент е такий, що A * e=e * A=A;
3) для будь-якого елементу а А існує зворотний або нейтралізуючий елемент? такий, що
а *? =? * А=е.
Визначення 4. Група lt; А, * gt; називається комутативної або абельовой , якщо бінарна операція * коммутативна на безлічі А.
Визначення 5. Група lt; А, * gt; називається кінцевої , якщо кількість її елементів звичайно, і нескінченної , якщо кількість її елементів нескінченно.
Кількість елементів кінцевої групи називається її порядком .
Важливі приклади груп:
. Повна лінійна група n-го ступеня над полем Р (Р=Q, R, C).
lt; GLn (P) ,. gt ;, де GLn (P)={(aij) n? n: det (aij)? 0, aij P, i, j =}
2. Спеціальна лінійна група n-го ступеня над полем Р (Р=Q, R, C).
lt; SLn (R) ,. gt ;, де SLn (R)={(aij) n? n: det (aij)=1, aij R, i, j =}
3. Група кватерніонів.
lt; Q 8,. gt ;, де Q 8={± 1, ± i, ± j, ± k}, i 2=j 2=k 2=- 1; ij=k, ki=j, jk=i, ji=- k, ik=- j, kj=- i, кінцева група 8-го порядку.
4. Група перетворень.
lt; ? gt ;, де - безліч оборотних перетворень безлічі А,
А?, ° - Суперпозиція (твір, композиція) перетворень.
5. Група підстановок n-го ступеня або симметрическая група lt; S n, ° gt; підстановок n-го ступеня, де S n - безліч підстановок n-го ступеня.
6.Знакопеременная група lt; An, ° gt; підстановок n-го ступеня, де An - безліч парних підстановок n-го ступеня, An Sn, ° - Суперпозиція підстановок.
.Четверная група Клейна.
lt; V, ° gt ;,
де V={e, a, b, c} A4 S4, A4 - знакозмінна група підстановок четвертого ступеня, S4 - симметрическая група підстановок четвертого ступеня.
8. Група залишків по даному модулю або група вирахувань з даного модуля, або група класів відрахувань з даного модуля.
§ 2. Властивості груп
Нехай алгебраїчна система lt; А, * gt;- Група.
Властивість 1. Бінарна операція * сократимого в групі:
a, b, з A з рівностей a * b=a * c (1), b * a=c * a (2)= gt; b=c (3).
Доказ...
