.
(1)= gt; (3)
a * b=a * c | * a зліва
а * (a * b)=a * (a * c)= gt; асоціативність * (a * a) * b=(a * a) * c= gt; умова 3 визначення групи e * b=e * c= gt; умова 2 визначення 3 групи b=c (3).
(2)= gt; (3) * a=c * a (2)= gt; b=c (3) * a=c * a | * a справа
(b * a) * a=(c * a) * a= gt; асоціативність * b * (a * a)=c * (a * a)= gt; умова 3 визначення групи b * e=c * e= gt; умова 2 визначення 3 групи b=c (3).
Властивість 2. Нейтральний елемент единственен.
Доказ.
Нехай е, е1 - дві нейтральних елемента групи. Покажемо, що е1=е.
Нехай а=е, е1 - нейтральний елемент групи А щодо операції * raquo ;: е * е1=е1 * е=е (1).
Нехай а=е1, е - нейтральний елемент групи А щодо операції * raquo ;: е1 * е=е * е1=е (2)
З підкреслених рівностей (1) і (2) видно, що е1=е.
Властивість 3. Нейтралізуючий для кожного елемента групи единственен.
Доказ.
Нехай a1, a2 - дві нейтралізують елемента для а А. Справедливі рівності:
а * a1=a1 * a=е (1), a2 * a=a * a2=е (2)
З підкреслених рівностей (1) і (2) видно, що a1 * a=a2 * a= gt; a1=a2=a.
Властивість 4. Нейтралізуючий для твори двох елементів дорівнює добутку нейтралізують для співмножників, узятих в іншому порядку: (a * b)=b * a.
Доказ.
Справедлива рівність (a * b) * (b * a). Дійсно, в силу узагальненої асоціативності, маємо a * (b * b) * a=e властивість нейтралізуючого елемента
a * e * a=e= gt; асоціативність (a * e) * a=e= gt; властивість нейтрального елемента a * a=e= gt; властивість нейтралізуючого елемента е=е.
Властивість 5. Нейтралізуючий для нейтралізуючого до елементу а дорівнює самому елементу а.
Доказ.
Справедливі рівності:
а * a=a * a=е (1) і а * (a)=(a) * a=е (2)
З підкреслених рівностей (1) і (2) видно, що
а * a=(a) * a= gt; властивість 1 групи скоротність праворуч (a)=a.
Властивість 6. Рівняння a? x=b (1) і y? a=b (2) однозначно розв'язні. Інакше кажучи, рівняння (1) і (2) мають в групі єдине рішення.
Доказ.
а) Покажемо, що рівняння (1) вирішуване:
а * х=b | *? зліва
? * (A * x) =? * B= gt; асоціативність * (? * A) * x =? * B= gt; властивість нейтралізуючого e * x =? * B= gt; властивість нейтрального x =? * B= gt; рівняння (1) вирішуване.
б) Покажемо, що рівняння (1) однозначно вирішується:
a * x=b | *? зліва
? * (? * X) =? * B= gt; (? * A) * x =? * B= gt; e * x =? * B= gt; x =? * B;
а * х=b | *? справа
(a * x) *? =B *? = gt; a * (x *?)=b *? = gt; a * e=b *? = gt; x=b *? = gt; рівняння (1) однозначно вирішується.
§ 3. Мультиплікативні циклічні підгрупи і групи
Нехай А? lt; А, · gt;- Мультиплікативна група,
Н - підмножина множини А, Н?.
Визначення 1. lt; Н, · gt;- Називається підгрупою мультиплікативної групи А, якщо виконуються наступні умови:
1. Н - замкнуто щодо бінарної операції * а, b Н, ab H;
2. Існує еН=ЕА - єдиний елемент щодо ° raquo ;;
3. а Н існує а - 1 Н.
Визначення 2. Якщо Н=А або Н={е}, то lt; Н, · gt;- Називається невласною підгрупою групи А.
Якщо Н А, Н - власне підмножина множини А, то підгрупа називається власної підгрупою групи А .
Н=А - сама група А.
Н={е} - одинична підгрупа.
циклічна підгрупа група мультиплікативна
Приклад. Чи є lt; А, · gt ;, де А={1, - 1, i, - i}, i - уявна одиниця, групою?
Рішення.
) Перевіримо умови мультиплікативної групи.
· - Бінарна асоціативність на безлічі А.
Таблиця Келі для · на безлічі А.
· 1-1i-i1 1 - 1i-i - 1-1 1 -iiii-i - 1 1 -i-ii 1 - 1
2) еН=1 А: а А а? 1=1? а=а;
) а А а - 1 А
Елемент11i-iНейтралізующій елемент1-1-ii
lt; А, · gt;- Підгрупа.
Важливим прикладом мультиплікативних підгруп є так звані мультиплікативні циклічні підгрупи .
Нехай lt; А, · gt;- Група. Елемент е А - одиничний елемент. Елемент а? е, а А.
(а) - безліч цілих ступенів елемента а: (а)={х=аn: n Z, a A, a? e}
Справедлива
Теорема 1. lt; (а), · gt; є підгрупою групи lt; А, · gt;.
Доказ. Перевіримо умови мультиплікативної підгрупи.
) Н...
