Решітчасті фільтри для стаціонарних випадкових процесів
1. Переваги гратчастих фільтрів
Побудова АР моделі або синтез АР фільтра вимагають обчислення коефіцієнтів АР. Для цього необхідно звертати кореляційну матрицю, а ця операція, як правило, пов'язана з великим обсягом обчислень.
Пошуки ефективних алгоритмів обчислення коефіцієнтів АР призвели до синтезу гратчастих структур. Гратчасті структури можуть бути реалізовані в вигляді гратчастих фільтрів (РФ). Параметрами РФ є коефіцієнти відбиття і число ланок фільтра. Коефіцієнти відбиття однозначно пов'язані нелінійними співвідношеннями з параметрами АР і визначаються, в кінцевому рахунку, кореляційної функцією випадкового процесу. Число ланок РФ одно порядку АР моделі. РФ, також як і АР фільтри, є фільтрами передбачення, мінімізують дисперсію помилки передбачення.
Незважаючи на те, що АР фільтри і РФ математично еквівалентні, між ними існує ряд відмінностей, істотних з практичної точки зору. При цифровий реалізації фільтрів особливе значення відіграє шум округлення. Його поява пов'язана з тим, що значення величин доводиться представляти кінцевим числом розрядів. Як показує досвід, в цьому відношенні РФ більш ефективні. Пояснюється це тим, що помилки округлення (i-1) - го ланки в РФ частково компенсуються в i-м ланці РФ, чого немає в АР фільтрах.
Іншим істотним властивістю цифрових фільтрів є їх чутливість до квантованной формі представлення параметрів фільтра. Тому, природно, виникає питання: наскільки сильно залежать характеристики фільтра від відхилення величин параметрів? Доведено, що РФ менш чутливі до погрішностей квантування параметрів в порівнянні з фільтрами прямої реалізації.
При синтезі РФ, що складається з p ланок, використовуються ті ж коефіцієнти відображення, що і у (p-1) - ланка фільтра. В АР фільтрі при збільшенні числа ланок фільтра доводиться заново перераховувати всі коефіцієнти АР фільтра. Отже, використання РФ для обробки випадкових сигналів має ряд переваг, порівняно з АР фільтрами.
2. Синтез гратчастого фільтра
Незважаючи на близькість РФ та АР фільтрів, використання РФ вимагає введення нових понять і співвідношень, на основі яких виводиться структура РФ. Перш все, необхідно зупинитися на виведенні рекурентних співвідношень, які носять назву алгоритму Левінсона-Дарбіна. Алгоритм дозволяє обчислювати для р-го порядку коефіцієнти АР і відображення РФ за знайденими коефіцієнтами АР моделі сигналу 1 ... р порядків.
За аналогією з фільтром прямого передбачення для сигналу, описуваного моделлю АР р-го порядку, можна ввести фільтр зворотного передбачення, описуваний виразом
, (1)
де - коефіцієнти фільтра зворотного передбачення, що складається з р ланок, - помилка зворотного передбачення на виході р-го ланки фільтра. Рівняння описує регресію значення випадкового процесу на наступні.
Значення коефіцієнтів фільтра зворотного передбачення перебувають з допомогою системи рівнянь, аналогічної системі рівнянь Юла-Уокера можна представити узагальнені рівняння Юла-Уокера в матричному вигляді
, (2)
де-квадрат СКО, рівний дисперсії помилки прямого передбачення, R p - кореляційний матриця (p +1) - го порядку
. (3)
Щоб не виходити за рамки загальноприйнятих в теорії гратчастих фільтрів позначень, надалі викладі буде використовуватися заміна та.
Помноживши ліву і праву частини рівняння на, і усереднивши, легко отримати рівняння Юла-Уокера для фільтра зворотного передбачення, аналогічне (3)
, (4)
де - дисперсія помилки зворотного передбачення на виході p-го ланки фільтра зворотного передбачення. Об'єднавши матричні рівняння (2) і (4) можна записати загальне рівняння
. (5)
Очевидно, що для (р +1) - ланка фільтра повинно так само виконуватися співвідношення типу
. (6)
Від матричного рівняння (5) можна перейти до матричному рівнянню (6) лише в тому випадку, якщо коефіцієнти фільтрів прямого і зворотного передбачення p-го порядку пов'язані з коефіцієнтами фільтра (p +1) - го порядку наступним чином
, (7)
де-деякі, так звані, коефіцієнти відображення. Помноживши праворуч ліву і праву частини матричного рівняння (7), на кореляційний матрицю можна показати, що коефіцієнти відображення задовольняють співвідношенням
, (8а)
. (8б)
Величини, що входять до співвідношення (8а) і (8б), описувані виразами
, (9а)
, (9б)
як буде показано нижче, інтерпретуються як взаємна кореляція помилок прямого і зворотного передбачення при одиничній затримці. Для скалярного випадку справедливі рівності
. (10)
Використовуючи співвідношення (8а), (8б) та враховуючи (7), алгоритм Л...
