Міністерство освіти и науки України
Приватний вищий навчальний заклад
Європейський университет
Запорізька філія
Контрольна робота
В
з дісціпліні: Теорія ймовірності и математична статистика
Варіант № 5 - Схема Бернуллі
В В В
виконан
Перевірів:
Запоріжжя,
2007р.
СХЕМА БЕРНУЛЛІ
У багатьох завданнях Теорії ймовірностей, статистики та повсякденної практики треба досліджуваті послідовність (серію) п випробувань. Наприклад, випробування "кинуто 1000 Однаково монет" можна розглядаті як послідовність 1000 більш простих випробувань - "кинута одна монета". При кіданні 1000 монет імовірність появи герба або написів на одній монеті НЕ покладів від того, что появится на других монетах. Тому можна казати, что у цьом випадка випробування повторюються 1000 разів Незалежності чином.
Означення 1. Если УСІ п випробувань Проводити в Однаково умів и імовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежиться від появи або непояві А в других випробуваннях, то таку послідовність незалежних випробувань назівають схем Бернуллі.
Нехай випадкове Подія А может з'явитись у кожному віпробуванні з імовірністю Р (А) = р б або не з'явитись з імовірністю q = Р {А) = 1 - р.
Поставімо задачу: найти імовірність того, что при п випробуваннях Подія А появится т разів и НЕ появится п - т разів. Шуканов імовірність позначімо Р п (т).
Спочатку розглянемо з'явиться події А три рази на чотірьох випробуваннях. Можливі Такі події
В
тоб їх
Если Подія А з'явилася 2 рази в 4 випробуваннях, то Можливі Такі події
В В
У загально випадка, коли Подія А з'являється т разів у п випробуваннях, таких складаний подій буде
В
Обчіслімо імовірність однієї складної події, Наприклад,
В
Імовірність сумісної появи п незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей ціх подій згідно з теоремою множення ймовірностей, тоб
В
Кількість таких складаний подійі смороду несумісні. Тому, згідно з теоремою додавання ймовірностей несумісніх подій, маємо
В
Формулу (1) назівають формулою Бернуллі. Вона дозволяє знаходіті імовірність появи події А т разів при п випробуваннях, Які утворюють схему Бернуллі.
Зауваження 1 . Імовірність появи події А рп випробуваннях схеми Бернуллі Менш т разів знаходять за формулою
В
Імовірність появи події А не менше т разів можна найти за формулою
В
або за формулою
В
Імовірність появи події А хочай б один раз у п випробуваннях доцільно знаходіті за формулою
В
Зауваження 2. У багатьох випадка треба знаходіті найбільш імовірне Значення т про числа т появ події А. Це Значення т візначається співвідношеннямі
В
Число т про винне буті цілім. Если (п + 1) р - ціле число, тоді найбільше Значення імовірність має при двох числах
В
Зауваження 3. Если імовірність появи події А в кожному віпробуванні дорівнює р , то кількість п випробувань, Які звітність, здійсніті, щоб з імовірністю Р можна Було стверджуваті, что Подія А появится хочай б один раз, знаходять за формулою,
В В
Приклад 1. Прилад склад з 10 блоків, Надійність шкірного з них 0.8. Блоки могут віходити з ладу Незалежності один від одного. Знайте імовірність того, что
а) відмовлять два блоки;
б) відмовіть хочай б один блок;
в) відмовлять не менше двох блоків.
Розв'язання. Позначімо за подію А відмову блоку. Тоді імовірність події А за умів прикладові буде
В
Р (А) = р = 1-0.8 = 0.2, тому д = 1-р = 1-0.2 = 0.8. br/>
Згідно з умів задачі п = 10. Вікорістовуючі формулу Бернуллі та Зауваження 1, одержимо
В В
Приклад 2. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За Скільки годин імовірність виготовлення хочай б однієї бракованої деталі буде не менше 0.952, ЯКЩО імовірність шлюбу будь-якої деталі дорівнює 0.01?
Розв'язання. Застосовуючі формулу (2), Знайдемо спочатку таку кількість виготовленя деталей, щоб з імовірністю р = 0.952 можна Було стверджуваті про наявність хочай б однієї бракованої деталі, ЯКЩО імовірність шлюбу за умів р = 0.01
В В
Отже, за годину (годин) автомат з імовірністю 0.952 віготовіть хочай б одну бракування деталь.
Приклад 3. При новому технологічному процесі 80% усієї віготовленої ПРОДУКЦІЇ має найвищу якість. Знайте найбільш імовірне число Виготовлення виробів найвищої якості среди 250 виготовленя виробів.
Розв'язання. Позначімо Шуканов число то- Згідно Зауваження
ЗА УМОВИ прикладові п = 250, р = 0.8, q - 0.2, тому
В В
Але то винне буті цілім числом, тому те = 200.
СПИСОК Використана І Л І тературе
1. Барковській В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія ймовірностей та математична статистика. - К.: ЦУЛ, 2002. - 448с. p> 2. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. - М.: Вища школа, 1980. p> 3. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики. - М.: Вища школа, 1975. p> 4. Гнеденко Б.В. Курс теорії ймовірностей. - М.: наука, 1988. p> 5. Леоненко М.М., Мішура Ю.С. та ін. Теоретико-ймовірностні та статистичні методи в економетріці та фінансовій математіці. - К.: Інформтехніка, 1995. br/>
