Сибірський державний університет шляхів сполучення
Домашнє завдання з дисципліни В«Математичне моделюванняВ»
Завдання № 1, № 2
Розробив: студент гр. М-511
Ревнівцев
2008
Завдання № 1
У глухому куті залізничної колії встановлений буфер (малюнок 1), що має пружний елемент з нелінійної жорсткістю, що відновлює сила якого змінюється за законом
.
В
1 - вагон; 2 - буфер; 3 - демпфер
Рисунок 1 - Схема до рішення задачі.
У напрямку тупика рухається вагон масою m і швидкістю X. При зіткненні вагона з пружним елементом, останній зміщується на величину X1. У задачі також прийняті наступні припущення: 1) маса буфера мала в порівнянні з масою вагона; 2) після удару контакт між цими об'єктами зберігається.
Відновлююча сила (закон зміни):
(1)
У задачі потрібно визначити:
- максимальне переміщення буфера;
- максимальне значення відновлювальної сили;
- час, за яке відновлює сила досягне максимального значення.
На дану систему (Малюнок 1) діють сили: сила інерції рухомого вагона; сила демпфірування (Або сила в'язкого тертя), пропорційна швидкості руху вагона; а також відновлююча сила пружного елемента-демпфера.
Сила інерції:
, (2)
Сила демпфірування:
, (3)
Сила пружності:
(4)
Для вирішення поставленого завдання слід вирішити звичайне диференціальне рівняння другого порядку виду:
(5)
Замінимо рівняння (5) системою рівнянь першого порядку, для цього введемо нову невідому функцію і перепишемо вихідне рівняння, представивши його у вигляді системи з двох рівнянь:
(6)
Рішення проводимо в системі MathCad з побудовою графічних залежностей: 1) швидкості руху вагона від часу, 2) переміщення буфера від часу, 3) відновлювальної сили від часу. Невідомі вище вихідні дані записуються безпосередньо в програмі.
Оригінал рівняння має вигляд:
, (7)
де - коефіцієнт демпфірування,;
- маса вагона, кг;
- жорсткість пружного елемента, Н/м;
- чисельний коефіцієнт,;
- швидкість вагона при підході до глухого кута, м/с;
Початкові умови:
В В
(8)
Рівняння (8) вирішується в системі MathCad посредствам вбудованою функцією - rkfixed:
Z: = rkfixed (y, 0, t, n. D) (9)
де Z - вектор невідомих;
y - Вектор початкових умов;
0 і t - інтервал, на якому шукається рішення;
n - Кількість точок на інтервалі. br/>В
У ході обчислень отримана наступна система відповідей:
В
Колонка В«0В» - проміжки часу; колонка В«1В» - переміщення в кожен момент часу; колонка В«2В» - швидкість вагона в кожен момент часу. p> Визначення відновлювальної сили.
Розрахунок ведеться при розбитті -
Функціональна залежність в програмі:
В
В
Колонка В«0В» - значення відновлювальної сили.
Далі в програмі ведеться побудова необхідних графіків на інтервалі:.
Графік залежності переміщення від часу
В
Графік залежності швидкості від часу
В
Графік залежності сили від переміщення
В
Після проведення рішень виведені лише шістнадцять розрахованих значень. Загалом же отримано 300 значень, що відповідає числу інтервалів.
Проаналізувавши результати отримуємо:
- максимальне переміщення буфера - 0,0782 метра;
- максимальне значення відновлювальної сили -;
- час, за яке відновлює сила досягне максимального значення - 0,725 сек.
Завдання № 2
Даний планетарний редуктор (малюнок 2) являє собою механічну обертальну систему, яка складається з чотирьох підсистем. Зв'язок між підсистемами здійснюється через зубчасте зачеплення.
Опишемо кожну з підсистем. Перша підсистема включає зубчасте колесо 1 (малюнок 2), яке знаходитися в зовнішньому зачепленні з сателітом 2, вал В«аВ» обертається в опорі 7 від приводу 5, що має крутний момент М вх . Друга підсистема включає: сателіт 2, який має зовнішнє зачеплення з рухомим зубчастим колесом 1 і внутрішнє зачеплення з нерухомим зубчастим колесом 3. Третя підсистема це нерухоме зубчасте колесо 3, яке знаходитися у внутрішньому зачепленні з сателітом 2. Четверта підсистема складається з сателіта 2, що обертається навколо осі валу В«вВ» разом з водилом 4, валу В«бВ», валу В«вВ», опор 8,9 і навантаження 6. br/>В
Малюнок 2 - Схема планетарног редуктор 1 - рухливе центральне колесо; 2 - сателіт, 3 - нерухоме центральне колесо, 4 - водило; 5 - привід; 6 - навантаження; 7, 8, 9 - опори валі...
