Вища математика
Функції декількох змінних
Зміст
1. Поняття функції двох і більше змінних
2. Межа і неперервність функції двох змінних
3. Приватні похідні першого порядку. Повний диференціал
4. Приватні похідні вищих порядків
5. Екстремум функції кількох змінних. Необхідні і достатні умови існування екстремуму
6. Умовний екстремум
Література
1. Поняття функції двох і більше змінних
Багато явища, що відбуваються в природі, економіці, суспільному житті не можна описати за допомогою функції однієї змінної. Наприклад, рентабельність підприємства залежить від прибутку, основних і оборотних фондів. Для вивчення такого роду залежностей і вводиться поняття функції декількох змінних.
У даній лекції розглядаються функції двох змінних, так як всі основні поняття і теореми, сформульовані для функцій двох змінних, легко узагальнюються на випадок більшого числа змінних.
Нехай - безліч впорядкованих пар дійсних чисел.
Визначення 1. Якщо кожної впорядкованої парі чисел по деякому закону поставлено у відповідність єдине дійсне число, то говорять, що задана функція двох змінних або. Числа називаються при цьому незалежними змінними або аргументами функції, а число - залежною змінною.
Наприклад, формула, що виражає обсяг циліндра, є функцією двох змінних: - радіуса основи і - висоти.
Пару чисел іноді називають точкою, а функцію двох змінних - функцією точки.
Значення функції в точці позначають або і називають приватним значенням функції двох змінних.
Сукупність усіх точок, в яких визначена функція, називається областю визначення цієї функції. Для функції двох змінних область визначення являє собою всю координатну площину або її частина, обмежену однією або декількома лініями.
Наприклад, область визначення функції - вся площину, а функції - одиничний коло з центром на початку координат (Або. br/>
2. Межа і безперервність функції двох змінних
Поняття межі і безперервності функції двох змінних аналогічні нагоди однієї змінної.
Нехай - довільна точка площини. - Околицею точки називається безліч всіх точок, координати яких задовольняють нерівності. Іншими словами, - околиця точки - це всі внутрішні точки круга з центром у точці і радіусом.
Визначення 2. Число називається границею функції при (або в крапці), якщо для будь-якого як завгодно малого позитивного числа існує (залежне від) таке, що для всіх і задовольняють нерівності виконується нерівність.
Позначається межа наступним чином:
або . br/>
Приклад 1. Знайти межа. p> Рішення. Введемо позначення, звідки. При маємо, що. Тоді
В
.
Визначення 3. Функція називається безперервної в точці, якщо: 1) визначена в точці і її околиці, 2) має кінцевий межа, 3) ця межа дорівнює значенню функції в точці, тобто . p> Функція називається безперервної в деякій області, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Точки, в яких умова безперервності не виконується, називаються точками розриву цієї функції. У деяких функціях точки розриву утворюють цілі лінії розриву. Наприклад, функція має дві лінії розриву: вісь () і вісь ().
Приклад 2. Знайти точки розриву функції.
Рішення. Дана функція не визначена в тих точках, в яких знаменник перетворюється на нуль, тобто в точках, де або. Це коло з центром на початку координат і радіусом. Значить, лінією розриву вихідної функції буде окружність.
3. Приватні похідні першого порядку. Повний диференціал
Нехай задана функція двох змінних. Дамо аргументу прирощення , А аргумент залишимо незмінним. Тоді функція одержить приріст, який називається приватним приростом по змінної і позначається:
.
Аналогічно, фіксуючи аргумент і надаючи аргументу пріращена-ня , Отримаємо приватна приріст функції по змінній:
.
Величина називається повним прир-Щені функції в точці.
Визначення 4. Приватної похідної функції двох змінних по одній з цих змінних називається межа відносини відповідного приватного приросту функції до приросту даної змінної, коли останнє прагне до нуля (якщо ця межа існує). Позначається приватна похідна так: або, або. p> Таким чином, за визначенню маємо:
,
.
Приватні похідні функції обчислюються за тими ж правилами і формулами, що і функція однієї змінної, при цьому враховується, що при диференціюванні по змінній, вважається постійною, а при диференціюванні по змінній постійної вважається.
Приклад 3. Знайти приватні похідні функцій:
а), б).
Рішення. а) Щоб знайти вважаємо постійної величиною і диференціюємо як функцію однієї змінної:
.
Аналогічно, в...
