важаючи постійною величиною, знаходимо:
В
.
Рішення.
б);
В
.
Визначення 5. Повним диференціалом функції називається сума добутків приватних похідних цієї функції на прирощення відповідних незалежних змінних, тобто
.
Враховуючи, що диференціали незалежних змінних співпадають з їх приростами, тобто , Формулу повного диференціала можна записати у вигляді
або . br/>
Приклад 4. Знайти повний диференціал функції.
Рішення. Так як, то за формулою повного диференціала знаходимо
.
4. Приватні похідні вищих порядків
Приватні похідні і називають приватними похідними першого порядку або першими приватними похідними.
Визначення 6. Приватними похідними другого порядку функції називаються приватні похідні від приватних похідних першого порядку.
Приватних похідних другого порядку чотири. Вони позначаються наступним чином:
або ; Або;
або ; Або. br/>
Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го і вищих порядків. Наприклад, для функції маємо:
, і т. д.
Приватні похідні другого або більш високого порядку, взяті з різних змінним, називаються змішаними приватними похідними. Для функції такими є похідні. Зауважимо, що у випадку, коли змішані похідні неперервні, то має місце рівність.
Приклад 5. Знайти приватні похідні другого порядку функції
.
Рішення. Приватні похідні першого порядку для даної функції знайдені в прикладі 3:
В
Диференціюючи і по змінним х і y, отримаємо
,
;
;
.
5. Екстремум функції декількох змінних. Необхідні і достатні умови існування екстремуму
Визначення 7. Точка називається точкою мінімуму (максимуму) функції, якщо існує така околиця точки, що для всіх точок з цієї околиці виконується нерівність, ().
Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках - екстремумами функції (мінімумом і максимумом відповідно).
Зауважимо, що мінімум і максимум функції мають локальний характер, так як значення функції в точці порівнюється з її значеннями в точках, досить близьких до.
Теорема 1 (необхідні умови екстремуму). Якщо - точка екстремуму диференціюється, то її приватні похідні і в цій точці дорівнюють нулю:.
Точки, в яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю, називаються критичними або стаціонарними. У критичних точках функція може мати екстремум, а може і не мати.
Теорема 2 (достатня умова екстремуму). Нехай функція: а) визначена в деякій околиці критичної точки, в якої і, б) має безперервні приватні похідні другого порядку. Тоді, якщо, то функція в точці має екстремум: максимум, якщо А <0; мінімум, якщо А> 0; якщо, то функція в точці екстремуму не має. У випадку питання про наявність екстремуму залишається відкритим.
При дослідженні функції двох змінних на екстремум рекомендується використовувати наступну схему:
1. Знайти приватні похідні першого порядку: і.
2. Вирішити систему рівнянь і знайти критичні точки функції.
3. Знайти приватні похідні другого порядку:,, . p> 4. Обчислити значення приватних похідних другого порядку в кожній критичній точці і, використовуючи достатні умови, зробити висновок про наявність екстремуму.
5. Знайти екстремуми функції.
Приклад 6. Знайти екстремуми функції.
Рішення. 1. Знаходимо приватні похідні і:
, . br/>
2. Для визначення критичних точок вирішуємо систему рівнянь
або br/>
З першого рівняння системи знаходимо:. Підставляючи знайдене значення y на друге рівняння, отримаємо
, ,, br/>
звідки
.
Знаходимо значення y, відповідні значенням. Підставляючи значення у рівняння, отримаємо:.
Таким чином, маємо дві критичні точки: і.
3. Знаходимо приватні похідні другого порядку:
; ;. p> 4. Обчислюємо значення приватних похідних другого порядку в кожній критичній точці. Для точки маємо:
, ,. br/>
Так як
,
то в точці екстремуму немає.
У точці:
, , br/>
і, отже,
.
Значить, в силу достатньої умови екстремуму, в точці функція має мінімум, тому що в цій точці і.
5. Знаходимо значення функції в точці:
.
6. Умовний екстремум
У теорії функцій декількох змінних іноді виникають завдання, коли екстремум функції декількох змінних необхідно знайти не на всій області визначення, а на безлічі, удовлетворяющем деякому умові.
Нехай - функція двох змінних, аргументи x і y якої задовольняють умові, званому рівнянням зв'язку.
Визначення 8. Точка називається точкою умовного ...
