Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне державне бюджетне освітня установа вищої професійної освіти
Національний дослідницький Томський політехнічний університет Інститут ІДО
Кафедра Вищої математики
Напрямок Економіка
Математичний аналіз
Функції декількох змінних
Томськ, 2012
Задача 1. Знайдіть приватні похідні першого порядку
; 1.2 №
; 1.4.
Рішення
;
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи за постійну при знаходженні, знаходимо:
В
;
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи х за постійну при знаходженні, знаходимо:
В
;
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи х за постійну при знаходженні, знаходимо:
В В
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи х за постійну при знаходженні, знаходимо:
В
Завдання 2. Знайдіть і побудуйте область визначення функції
В
Рішення
Вираз під коренем не може бути менше нуля, тобто, звідки. Цьому нерівності відповідає область на координатної площини, що лежить вище прямої, включаючи її саму. p> Вираз під знаком логарифма повинно бути більше нуля, тобто, звідки. Цьому нерівності відповідає область на координатної площини, що лежить вище параболи, не включаючи її саму. p> Область визначення функції визначається перетином зазначених областей. Зобразимо її:
В
Задача 3. Знайдіть похідну від функції, заданої неявно. <В
Рішення
Функція задана у вигляді. Приватні похідні функції:
В
За формулою знаходимо:
В
Задача 4. Знайдіть повний диференціал dz функції
Рішення
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи за постійну при знаходженні, знаходимо приватні похідні функції:
В
Знаходимо повний диференціал функції:
.
Задача 5. Доведіть, що функція задовольняє рівнянню
Рішення
Приймаючи в за постійну при знаходженні і беручи за постійну при знаходженні, знаходимо приватні похідні функції:
В
Підставляємо їх у задане рівняння:
.
Це відповідає заданому рівнянню, значить функція задовольняє рівнянню.
Задача 6. Досліджуйте функцію на екстремум
Рішення
Знаходимо приватні похідні функції:
В
Необхідна умова екстремуму:
В
- критична точка
Приватні похідні другого порядку:
В
У точці М
У точці ...
