Реферат на тему
Досвід застосування критерію Сильвестра в деяких задачах стійкості консервативних систем
Санкт-Петербург 2010р.
Біографія
Джеймс Джозеф Сильвестр (3 Вересень 1814, Лондон - 15 березня, 1897, Оксфорд) - Відомий англійський математик єврейського походження. Сильвестр почав вивчати математику в Сент-Джон-коледжі Кембриджського університету в 1831 році. Його навчання переривалася тривалими хворобами, але в підсумку він посів друге місце на випускному іспиті з математики в 1837 році. Однак він не отримав ступені бакалавра, так як для цього було потрібно підтвердити свою згоду з догматами англіканського віросповідання, що Сильвестр відмовився зробити. У 1841 році він отримав ступінь бакалавра та магістра в Трініті-коледжі в Дубліні. Тут євреям, як і католикам, дозволялося отримувати освіту. У тому ж році він переїхав до США щоб стати професором в Університеті Вірджинії, але невдовзі повернувся до Англії. У 1877 році Сильвестр знову переїхав до Америки щоб стати першим професором математики в новому Університеті Джона Хопкінса в Балтиморі. Його платня склало 5000 доларів (досить щедре на ті часи), і він зажадав, щоб його виплачували золотом.В 1878 він заснував В«Американський математичний журнал В»- другий в той час у США.В 1880 Сильвестр був нагороджений Медаллю Коплі. У 1883 році він повернувся до Англії, щоб стати головою кафедри геометрії в Оксфордському університеті. Він керував кафедрою до самої смерті, хоча в 1892 році університет призначив йому заступника.
Іменем Сильвестра названа бронзова медаль (див. Медаль Сильвестра), що вручається з 1901 року Королівським товариством за видатні заслуги в математиці.
Стійкість рівноваги консервативної системи з кінцевим числом ступенів свободи
Встановлений теоремою Лагранжа-Діріхле умова стійкої рівноваги системи з кінцевим числом ступенів свободи полягає в тому, що сталому рівноважного положенню відповідає мінімум потенційної енергії.
Для системи з кінцевим числом ступенів свободи мінімум потенційної енергії визначається низкою умов. Ці умови забезпечують співвідношення між параметрами системи, при яких будь-якому збільшенню узагальнених координат, що обчислюються від положення рівноваги, відповідає позитивне прирощення потенційної енергії.
Потенційна енергія консервативної системи з s ступенями свободи визначається виразом:
В
На підставі теореми Лагранжа - Дирихле потенційна енергія системи являє собою позитивну знакоопределенная форму.
Функцію називають знакоопределенная, якщо при будь-яких значеннях аргументів вона зберігає один і той же знак, тобто є або позитивною або негативною.
Щоб визначити умови, за яких розглянута квадратична форма є виразно позитивною, скористаємося критерієм Сильвестра про знакоопределенная квадратичної форми: для того щоб квадратична форма була виразно позитивною, необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори її дискриминанта були позитивні, тобто виконувалися наступні умови:
В
Для потенційної енергії системи:
В
З збільшенням числа ступенів свободи дослідження стійкості рівноваги систем значно ускладнюється.
Теорема Лагранжа - Дирихле дає критерій, що дозволяє стверджувати, що рівноважний положення консервативної системи стійко, якщо її потенційна енергія має мінімум. Однак з цієї теоремі не можна визначити, яке рівновагу системи, якщо її потенційна енергія в рівноважному положенні не має мінімуму. У цих випадках застосовують такі теореми Ляпунова про нестійкість рівноваги.
Теорема 1. Рівноважне положення системи є становищем нестійкої рівноваги, якщо потенційна енергія системи в цьому положенні не має мінімуму; при цьому відсутність мінімуму визначається членами другого порядку малості, дійсно входять до розкладання рівняння потенційної енергії в ряд Маклорена по ступенями малих збільшень координат.
Теорема 2. Рівноважне положення системи є становищем нестійкої рівноваги, якщо потенційна енергія системи в цьому положенні має максимум; при цьому наявність максимуму встановлюється членами найменш високого порядку малості, дійсно входять до розкладання рівняння потенційної енергії в ряд Маклорена. p> Теорему 2 застосовують тоді, корду неможливо визначити наявність або відсутність мінімуму потенційної енергії за членам другого порядку, наприклад у випадку, коли члени другого порядку малості в розкладанні потенційної енергії відсутні.
Теорема Лагранжа - Дирихле і теореми Ляпунова відносяться до випадку рівноваги консервативної системи.
Приклад 1
Визначити умови стійкості рівноважного положення системи з трьома ступенями свободи, якщо потенційна енергія цієї системи визначається наступним виразом:
В
Д...
