е-узагальнені координати системи; a, b, d, e, f-речові постійні.
Рішення. Для того щоб потенційна енергія системи була виразно позитивною, її дискримінант повинен мати всі головні діагональні мінори позитивними.
В
Так як
В
то на підставі критерію Сильвестра отримаємо наступні умови стійкості рівноваги системи:
В
Останній визначник третього порядку обчислюємо за правилом Саррюса
В
А тому
В
Отже, умови стійкості рівноваги цієї системи визначаються нерівностями
В
Функції Ляпунова. Критерій Сильвестра
Одним з найбільш ефективних методів дослідження стійкості руху є прямий метод Ляпунова, розглянемо прямий метод для автономних систем.
Розглянемо деякі речові функції
визначених у області
(1)
Де-постійне позитивне число.
Передбачається що в області (1) ці функції однозначні, безупинні і звертаються в нуль, коли всі х 1 , . . . , Х n дорівнюють нулю, тобто
V (0) = 0 (2)
Якщо в області (1) функція V крім нуля може приймати значення тільки одного знака, то вона називається знакопостоянного (відповідно позитивної або негативної). Якщо ж знакопостоянного функція звертається в нуль тільки в тому випадку, коли всі х г ,. . . . . ., Х п дорівнюють нулю, то функція V називається знакоопре-поділеній (відповідно виразно-позитивною або виразно-негативною). Функції, які беруть як позитивні, так і негативні значення, називаються знакозмінними функціями. Введені таким чином функції V, використовувані для дослідження стійкості руху, називаються функціями Ляпунова.
Розглянемо ознаки, за допомогою яких можна визначити характер функції V. Насамперед зазначимо, що знакоопределенная функція V повинна містити всі змінні х ь . . ., Х п . Дійсно, нехай, на- приклад, функція V не містить змінну х п . Тоді при х г =. . . = Х п ^ = 0, функція V буде звертатися в нуль, що неприпустимо для знакоопределенная функцій.
Нехай знакоопределенная функція V - У (х) неперервна разом зі своїми похідними. Тоді при х } =. . . = Х п - 0 вона. буде мати ізольований екстремум і, отже, всі приватні похідні першого порядку, обчислені в цій точці, будуть рівні нулю (Необхідні умови існування екстремуму)
(3)
Розкладемо функцію V в ряд Маклорена за ступенями х 1 ,. . . , Х n
В
де точками позначені члени вищого порядку. Враховуючи співвідношення (2) і (3), отримаємо
(4)
Тут постійні числа c kj = c jk визначені рівностями
(5)
З формули (4) видно, що розкладання ш-ткоопре-делЕенной функції V в ряд за ступенями х ь . . ., Х п НЕ містить членів першого ступеня.
Припустимо, що квадратична форма
(6)
приймає позитивні значення і в нуль звертається тільки при х 1 =. . . = Х т = 0. Тоді незалежно від членів вищого порядку при досить малих за модулем Xf функція У прийматиме також позитивні значення і в нуль вона булет звертатися тільки при х г = . . . = Х п = 0. Таким чином, якщо квадратична форма (6) виразно-позитивна, то і функція V буде виразно-позитивною.
Розглянемо матрицю коефіцієнтів квадратичної форми (6):
(7)
і складемо з неї п головних діагональних мінорів (в матриці (7) вони окантовані пунктиром)
(8)
У лінійної алгебрі доводиться наступний критерій Сильвестра: для того щоб квадратична форма з речовими коефіцієнтами була виразно-позитивною, необхідно і достатньо, щоб всі головні діагональні мінори А 1г Д 2 ,. . ., А п матриці її коефіцієнтів були позитивні, тобто
(9)
З сказаного випливає, що критерій Сильвестра (9) для квадратичної частини функції V є достатнім (але не необхідним) умовою певної позитивності самої функції V.
Якщо функція V виразно-негативна, то функція - V буде виразно-позитивною. Тому достатньою умовою певної заперечності функції V буде критерій Сильвестра (9) для матриці-С. Цей критерій має вид
(10)
Тобто визначники повинні послідовно чергувати знак, причому знак повинен бути негативним.
Як приклад розглянемо функцію
В
Розкладемо цю функцію в ряд за ступенями х х і х 2 . Маємо
В
де точками позначення члени, що містять х 1 і х 2 в ступені вище другий. Вносячи ці вирази для sin 3 x t і cos (x L - х 2 ) у функцію V, отримаємо
В
Аб...
