Історичні відомості
У Київській Русі заходів площі, як квадратних заходів, судячи за збереженими джерелами, що не було. Хоча, давньоруські зодчі і землеміри мали про них уявлення. p> Заходи площі потрібні були для визначення розмірів земельних ділянок. Ділянки ж таки не завжди були чітко розмежовані, стикалися один з одним, мали межові знаки.
У стародавній Русі в цілях податного оподаткування використовували чисто умовні одиниці, характеризували робочу силу або сільськогосподарський інвентар, а також заходи, в основі яких лежали трудові можливості. Звідси такі найменування земледельной заходів (одиниць оподаткування), як В«будинокВ» (сім'я) або В«димВ», В«ралоВ», В«сохаВ», В«ОбжаВ» і пр. Трудовий характер заходів В«сохаВ» і В«обжаВ» та їх співвідношення свідчать з збереженого відповіді новгородців на запит Івана III в 1478 р.: В«Три обжи - соха, а обжа - 1 чоловік на 1 коні репетує (оре); а хто на 3 конях і сам третій репетує, іно то соха В».
Незважаючи на невизначеність в геометричному сенсі, В«посівніВ» заходи виявилися більш зручними для хліборобів, крім того, об'єктивніше і точніше визначався розмір податного оподаткування.
Для сіножатей широко застосовували В«урожайніВ» заходи - копиці сіна. Копиці іноді використовували і в якості заходів посівних площ.
Всі В«трудовіВ», В«УрожайніВ» і В«посівніВ» заходи містили в собі елементи суб'єктивізму і сваволі, які проявлялися безпосередньо у практиці використання цих заходів.
Під час феодальної роздробленості Русі як міри площі застосовувалися В«будинокВ» (дим), В«сохаВ», В«ОбжаВ». Але вони відрізнялися за кількістю залежно від князівства. Відмінності були і в найменуваннях заходів. У Новгороді, наприклад, в якості посівної заходи застосовувалася В«коробиВ» (площа, на яку висівали Короб жита - міру обсягу).
Площі сінокісних ділянок оцінювали копицею (площа луки, на якій можна накосити копицю сіна). Ці заходи дозволяли визначити врожайність, а про форму та розміри земельних ділянок повного уявлення не давали.
У середині XIII століття татари проводили в значних масштабах опису земельних площ. У основу описів в якості одиниці вимірювання було покладено окреме господарство (В«будинокВ» або В«димВ»).
У пам'ятниках стародавньої писемності з кінця XIV століття згадується геометрична міра земельних площ - десятина. Спочатку застосовували В«круглуВ» десятину - квадрат зі стороною, рівною десятій частці версти (50 сажнів), звідки й походить назва В«десятинаВ». З середини XV століття десятину стали вживати для орних земель, а не тільки для сіножатей. З цього моменту можна говорити про використанні в землемірної практиці дійсно заходів в метрологічному сенсі слова.
Перехід від чверті до десятини виявився скрутним, т. к. в основі чверті лежало реальне засівати зерно, це було зрозуміло всім, крім того, в Писцовой книгах було зафіксовано визначення земельних площ в чвертях.
площі міра доказ формула
Площа багатокутника і його властивості
Площа багатокутника - це величина тієї частини площині, яку займає багатокутник. Вимірювання площ проводиться за допомогою обраної одиниці вимірювання аналогічно вимірюванню довжин відрізків. За одиницю вимірювання площ беруть квадрат, сторона якого дорівнює одиниці виміру відрізків. Квадратним сантиметром позначається см 2 . Аналогічно визначається квадратний метр (м 2 ), квадратний міліметр (мм 2 ) і т.д.
При обраному об'єкті вимірювання площ площа кожного багатокутника виражається позитивним числом. Це число показує, скільки разів одиниця виміру і її частини укладаються в даному многоугольнике.
Зазвичай вимірюють лише деякі пов'язані з багатокутником відрізки, а потім обчислюють площа за певними формулами.
Висновок цих формул заснований на властивостях площ, які ми зараз і розглянемо.
Перш все відзначимо, що якщо два багатокутника рівні, то одиниця виміру площ і її частини укладаються в таких багатокутниках однакове число разів, тобто має місце наступне властивість:
1. Рівні багатокутники мають рівні площі
Далі, нехай багатокутник складений з декількох багатокутників так, що внутрішні області будь-яких двох з цих багатокутників не мають спільних точок. Очевидно, величина частини площині, займаної всім багатокутником, є сумою величин тих частин площини, які займають складові його багатокутники. Отже:
2. Якщо багатокутник складений з декількох багатокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих багатокутників
Властивості 1 0 і 2 0 називають основними властивостями площ. Аналогічними властивостями володіють і довжини відрізків.
Поряд з цими властивостями нам знадобиться ще одна властивість площ.
3. Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони
