p>
Коротку формулювання цієї властивості слід розуміти так: якщо сторона квадрата при обраному об'єкті вимірювання відрізків виражається числом а, то площа цього квадрата виражається числом а 2 .
Площа квадрата
Доведемо, що площа S квадрата зі стороною а дорівнює а 2 .
Почнемо з того, що а =, де n - ціле число. Візьмемо квадрат зі стороною 1 і розіб'ємо його на n 2 рівних квадратів так, як показано на малюнку а) (на малюнку n = 5).
рис. а)
В
В
В
a = Так як площа великого квадрата дорівнює 1, то площа кожного маленького квадрата дорівнює . Сторона кожного маленького квадрата дорівнює, тобто дорівнює а . Отже,
S == (формула 1)
Нехай тепер число а представляє собою кінцеву десяткову дріб, яка містить n знаків після коми (Зокрема, число а може бути цілим, і тоді n = 0). Тоді число m = ціле. Розіб'ємо даний квадрат зі стороною а на m 2 рівних квадратів так, як показано на малюнку б) (на малюнку m = 7)
рис. б)
В
При цьому кожна сторона даного квадрата розіб'ється на m рівних частин і, значить, сторона будь-якого маленького квадрата дорівнює
В
За формулою 1 площа маленького квадрата дорівнює. Отже, площа S даного квадрата дорівнює
В
Нарешті, нехай число а представляє собою нескінченну десяткову дріб. Розглянемо число а, що отримується з а відкиданням всіх десяткових знаків після коми, починаючи з (n +1) - го. Так як число а відрізняється від а n не більше ніж на, то, звідки
В
Ясно, що площа S даного квадрата укладена між площею квадрата зі стороною і площею квадрата зі стороною (малюнок в)), тобто між і:
(формула 3)
рис. в)
В
В
Будемо необмежено збільшувати число n. Тоді число буде ставати як завгодно малим, і, значить, число буде як завгодно мало відрізнятися від числа. Тому з нерівностей (2) і (3) випливає, що число S як завгодно мало відрізняється від числа. Отже, ці числа рівні:, що й потрібно було довести.
Площа прямокутника
Теорема:
Площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін
Доказ:
Розглянемо прямокутник зі сторонами a, b і площею S (рис. а). Доведемо,
що S = ab.
Рис. а)
b
a
Добудуємо прямокутник до квадрата зі стороною a + b, як показано на (мал. б)
По властивості 3 0 площа цього квадрата дорівнює. br/...
