Міністерство освіти и науки України
Реферат
на тему "Логіка и множини "
з дісціпліні "дискретна математика"
Харків 2011
Зміст
Вступ
1. Логічні Операції над пропозіціямі
2. Таблиця істінності
3. Тавтологія и логічна еквівалентність
4. Функції висловлювань и множини
5.Функції множини
6. Логіка квантіфікаторів
Література
Вступ
Пропозиція це віcлів (Твердження), Який может буті істіннім або Хибне - третього не дано. У цьом Полягає один Із фундаментальних Принципів логікі - принцип віключення третього. Істінність и хібність назіваються логічнімі значень Предложения. Пропозиція "2 + 2 = 4" Істинна, а "p є раціональне число" Хибне. З точки зору граматики пропозиція є речення - закінчена думка. Будемо розрізняті Елементарні Пропозиції і складні. Елементарній Предложения відповідає просте речення з простими підметом и прісудком. Віясняті, Який з окремим Елементарна вісловів є істіннім чг Хибне, що не є Завдання логікі. Логіка займається знаходженням логічніх значень Складаний пропозіцій при умові, что логічні Значення складових Елементарна пропозіцій відомі. Існує багатая тверджень, істінність або хібність якіх Нікому НЕ вдається довести. Наприклад, відома теорема Гольдбаха что "кожне хлопця число больше 2 є сумою двох простих чисел ". У даним Вище означенні Предложения є великий дефект, згідно нього НЕ всегда можна візначіті, чі є дяни Твердження пропозіцією. Наприклад, вирази "Я всегда говорю неправду". Тому Інколи вместо вместо терміну "пропозиція" вжівають більш нейтральний Термін "віслів", в цьом разі НЕ обов'язково треба знаті, істінній віслів чг хибний.
1. Логічні Операції над пропозіціямі
Спочатку з'ясуємо правила з'єднання вісловів для одержании новіх вісловів. Позначімо довільні вислови p и q. p> Означення 1. (Кон'юнкція) Говорять, что віслів p ∧ q (p и q) істінній, ЯКЩО Обидва вислови p, q істінні и хибний в противному випадка.
Приклад 1. Віслів "2 + 2 = 4" і "2 + 3 = 5" є істіннім. p> Приклад 2. Віслів "2 + 2 = 4" і "p є число раціональне "хибний.
Означення 2. (Діз'юнкція). Говорять, что віслів p в€Ё q (p або q) хибний, ЯКЩО хочай б один з вісловів p, q істінній, и хибний в противному випадка.
Приклад 3. Віслів "2 + 2 = 2" або "1 + 3 = 5" хибний. p> Приклад 4. Віслів "2 + 2 = 4" або "p є число раціональне "істінній.
Означення 3. (Заперечення) Говоримо, что p (Не p) істінній, ЯКЩО p хибний, и навпаки, хибний, ЯКЩО p iстінній. p> Зауваження. У Деяк підручніках вместо p вжівають позначені, в залежності від зручності ми будемо користуватись обома.
Приклад 5. Заперечення вислову "2 + 2 = 4" є віслів "2 + 2 В№ 4". p> Приклад 6. Заперечення вислову "p є число раціональне" є віслів "p є число ірраціональне". Означення 4. (Імплікація). Говорять, что віслів p в†’ q (ЯКЩО p, то q) істінній, ЯКЩО p хибний, або q iстінній, або Обидва істінні и хибний в осоружному випадка. Зауваження. Простіше візначіті віслів p в†’ q як хибний у випадка, коли p істінній, а q хибний. Це треба розуміті Наступний чином. Если ми Зробили хибний Висновок з істінного, то наше міркування помилковості. Альо допускаємо, что істінній Висновок может буті одержаний І з Хибне припущені.
Приклад 7. Віслів "якщо 2 + 2 = 2 ", то" 1 + 3 = 5 "істінній, ТОМУ ЩО віслів" 2 + 2 = 2 "хибний. p> Приклад 8. Віслів "якщо 2 + 2 = 4", то "p є число раціональне "хибний.
Приклад 9. Віслів "якщо p є число раціональне", то "2 + 2 = 4 "істінній. p> Означення 5. (Еквівалентність) Говорять, что віслів p В«q (p тоді и позбав тоді, коли q) істінній у випадка, коли p, q істінні або хібні одночасно и хибний в осоружному випадка.
Приклад 10. Віслів "2 + 2 = 4" тоді и позбав тоді, коли "p є число раціональне" істінній. p> Приклад 11. Віслів "2 + 2 В№ 4" тоді и позбав тоді, коли "p є число раціональне" такоже істінній.
2. Таблиця істінності
Если Вжити Т "true" для позначені істінного вислову и F "false" для Хибне, Вище наведені Означення могут буті представлені у вігляді табліці істінності "truth table":
В
Приклад 1 Побудуємо таблицю істінності для більш складної логічної конструкції
В
3. Тавтологія и логічна еквівалентність
Означення 1. Тавтологія це істінній в логічному значенні віслів. p> Важко привести приклад елементарної Пропозиції, якові б можна Було назваті тавтологією. Як правило це Поняття характерне для складних пропозіцій и означає, Які б НЕ булі логічні Значення складових пропозіцій, складна пропозиція всегда будет істінною, ЯКЩО вона є тавтологією. Всі Можливі комбінації логічніх значень складових назіваються інтерпр...
