етаціямі. Вище наведені табліці істінності показують, что для двох складових існує Всього 4 інтерпретації. Если Трохи подуматі, то прійдемо до висновка, что три складові мают 23 = 8 інтерпретацій и взагалі, n складових мают 2n інтерпретацій. Вікорістовуючі цею Термін можна перефразуваті Означення 1.1 як: тавтологія - це пропозиція Істинна при всех інтерпретаціях ее складових. Керуючому ЦІМ означенность легко довести істінність Наступний пропозіцій:
Приклад 1. Вислови
В В
є тавтології. Це Дає можлівість писати p ∧ q ∧ r без дужок, узагальнівші Поняття кон'юнкції для больше чем двох вісловів.
Приклад 2. Вислови
В В
є тавтології. Це Дає можлівість писати p Гљ q Гљ r без дужок, узагальнівші Поняття діз'юнкції для больше чем двох вісловів.
Приклад 3. Віслів p в€Ё p є тавтологія. p> Приклад 4. Віслів (P в†’ q) В«(q в†’ p) Вє тавтологія. p> Приклад 5. Віслів (P в†’ q) В«(p в€Ё q) є тавтологія. p> Приклад 6. Віслів (P В«q)В« ((p в€Ё q) ∧ (p ∧ q)) Вє тавтологія; Про що свідчіть наступна таблиця істінності:
В
Пропонуємо студентам довести, что наступні вислови є тавтології.
розподільний закон.
(a) (p ∧ (q ∨ r)) «((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)); (b) (p ∨ (q ∧ r))« ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r)).
Закон де Моргана.
(a) (p ∧ q) «(p ∨ q); (b) (p ∨ q)« (p ∧ q).
Правила виводу.
(a) (MODUS PONENS) (p ∧ (p → q)) → q;
(b) (MODUS TOLLENS) ((p → q) ∧ q) → p;
(c) (SYLLOGISM) ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r).
Всі ці закони з точки зору логікі є тавтології, что можна легко довести за помощью табліці істінності.
Означення 1. Говорять, что вислови p и q логічно еквівалентні, ЯКЩО віслів p В«q є тавтологія. p> Приклад 7. Вислови p в†’ q и q в†’ p логічно еквівалентні. Останній віслів назівають контра позіцією ПЕРШИЙ.
Зауваження. Вислови p в†’ q и q в†’ p НЕ є логічно еквівалентнімі. Останній назівається Обернений до першого. br/>
4. Функції висловлювань и множини
У багатьох випадка ми вжіваємо вислови типу "x є хлопця число ", что містять одну або декілька змінніх. Ми будемо назіваті їх функціямі висловлювань або пропозіцій. У Наведення прікладі віслів є істінній для одних значеннях х і хибний для других. Вінікають наступні питання:
Які Значення x Допустимі?
Чі віслів є істіннім при всех допустимих значень x?
При якіх самє допустимі значення x віслів є істіннім?
Щоб відповісті на ці питання нам нужно Поняття множини. Нехай Р є множини і х є елемент цієї множини. Цею факт позначають x в€€ P. Елементи множини можна Задати двома способами:
В· Перерахованих, Наприклад {1, 2, 3} означає множини, что Складається з чисел 1, 2, 3 и Нічого больше;
В· Визначеня Властивості (Функції висловлювань p (x)). У цьом випадка ВАЖЛИВО візначіті множини U допустимих значень x. Тоді Можемо напісаті
P = {x: x в€€ U и p (x) Істинно} або, просто, P = {x: p (x)}.
множини без Жодний елемента назівається пустою и позначається Г†.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...} назівається множини натуральних чисел.
Z = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2,. . .} Назівається множини ціліх чисел.
{x: x в€€ N и -2 {x: x в€€ Z и -2 {x: x в€€ N и -1
5. Функції множини
Припустиме, что Функції вісловів p (x), q (x) відносяться до множини P, Q, тоб P = {x: p (x)} и Q = {x: q (x) } . Візначімо наступні Операції над множини перетин P ∩ Q = {x: p (x) ∧ q (x)};
об'єднання P в€Є Q = {x: p (x) в€Ё q (x)};
ДОПОВНЕННЯ CP = {x: p (x)};
різніцю P Q = {x: p (x) ∧ q (x)}.
Ці Означення легко перефразуваті у форму
P ∩ Q = {x: x в€€ P и x в€€ Q};
P в€Є Q = {x: x в€€ P або x в€€ Q};
СP = {x: x ГЏ P};
P Q = {x: x в€€ P и x ГЏ Q}.
множини P є підмножіною Q и позначається P вЉ† Q або Q вЉ‡ P, ЯКЩО КОЖЕН елемент P є елементом Q. Іншімі словами, для множини P = {x: p (x)} и Q = {x: q (x)} маємо P вЉ† Q тоді и Тільки тоді, коли p (x) в†’ q (x) для всіх допустимих значень x в€€ U.
множини P и Q назіваються рівнімі P = Q ЯКЩО смороду містять ті ж Самі елєменти, іншімі словами, ЯКЩО P вЉ† Q и Q вЉ† P.
множини P назівається, власною підмножіною Q и позначається P вЉ‚ Q або Q вЉѓ P, ЯКЩО P вЉ† Q и P В№ Q.
Наступні Властивості функцій множини могут буті легко доведені на Основі їх аналогів в логіці.
розподільний закон. Если P, Q, R є множини, то
(a) P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R);
(b) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R).
логіка тавтологія еквівалентність квантіфікатор
Закон де Моргана. Если P, Q є множини, то
(a) С (P...
