ПРИКЛАДИ ФІНАНСОВИХ ОБЧИСЛЕНЬ
1. Поняття простих і складних відсотків. Ефективна і номінальна відсоткові ставки
Перш ніж приступити до фінансових обчислень, ознайомимося з основними поняттями фінансової математики. Розглянемо нарахування відсотків за простою і складною процентною ставками. Для цього наведемо поняття поточної вартості грошей і майбутньої вартості грошей. br/>
1.1 Поточна і майбутня вартість грошей
Поточна вартість грошей - PV (скорочення від В«present valueВ») - сума, якої власник володіє сьогодні.
Майбутня вартість грошей - FV - (В«future valueВ») - це сума, яку власник отримає через деякий певний час.
Взаємозв'язок майбутньої та поточної вартості грошей визначається таким співвідношенням:
= PV? (1 + i) (1)
Де i-процентна ставка Банку.
Наприклад, якщо банківська процентна ставка становить 10%, то через рік сума на банківському рахунку зросте в 1,1 рази. Дохід володаря рахунку складе i? PV = 0,1? PV. p align="justify"> Існує два способи нарахування процентів: за простою відсоткової ставки і за складною процентною ставкою.
1.2 Нарахування доходу за простою відсоткової ставки
При нарахуванні доходу за простою відсоткової ставкою inp дохід кожного разу нараховується на спочатку вкладену суму (через рік дохід складе inp? PV; через два роки 2? inp? PV; через 5 років - 5? inp? PV; через n років - n? inp? PV). Таким чином, при нарахуванні доходу за простою відсоткової ставки через n років на рахунку у власника буде сума:
= PV? (1 + inp? N) (2)
Примітка. При нарахуванні доходу за простою відсоткової ставкою проміжні доходи володаря не реінвестуються, тобто на них відсотки не нараховуються. p align="justify"> Співвідношення (2) описує лінійну залежність майбутньої вартості грошей FV від часу n.
Висновок. Таким чином, при нарахуванні доходу за простою відсоткової ставкою сума грошових коштів на рахунку зростає за лінійним принципом. br/>
1.3 Нарахування доходу за складною процентною ставкою
При нарахуванні доходу за складною процентною ставкою iдоход нараховується не на первісну, а на накопичену суму. Проміжні доходи в цьому випадку інвестуються, або, як кажуть у таких випадках, відбувається нарахування відсотка на відсоток. p align="justify"> Якщо наприкінці першого року сума на рахунку становила PV (1 + i), то наприкінці другого року вона складе PV? (1 + i) 2, в кінці третього - PV? (1 + i) 3 і т.д. По закінченні n років сума на рахунку власника складе:
= PV (1 + i) n (3)
Коефіцієнт
(1 + i) n (4)
входить в праву сторону співвідношення (3), називається коефіцієнтом нарощення.
1.4 Порівняння нарахування доходу за простою і за складною процентною ставкою
Подивимося, як змінюється сума на банківському рахунку з часом при нарахуванні доходу за простою і складною відсотковими ставками. До кінця першого року доходи, отримані по обидва ставками, однакові. Надалі сума зростає швидше, якщо нарахування доходу відбувається за складною процентною ставкою. p align="justify"> У загальному випадку, якщо відома початкова або поточна вартість грошей PV і майбутня вартість грошей FV, то прибутковість (складна процентна ставка) за n років складе:
(5)
Якщо ми цікавимося простий процентною ставкою, то її можна визначити за допомогою співвідношення:
(6)
Останній вираз має простий сенс. Величина FV-PV, що стоїть у чисельнику (6), - це дохід, отриманий за весь час n. Розділивши дохід на початкові інвестиції PV, отримаємо прибутковість за весь термін. Далі, для отримання значення річної прибутковості здійснюється поділ на час n. Цей метод розрахунку простий прибутковості зберігається і в більш складних випадках, наприклад, якщо виробляються проміжні виплати. p> Вибір простий або складною ставки нарахування, як правило, залежить від домовленості між кредитором і позичальником. Однак якщо інвестор хоче отримати більш точну і несуперечливу оцінку ефективності своїх інвестицій, йому слід користуватися складними процентними ставками, так як цей дохід є строго математичним, в той час як дохід з використанням простих процентних ставок для оцінки інвестицій є наближеним. p> Наближені розрахунки з використанням простих процентних ставок, істотно простіше, і їх можна використовувати для експрес-оцінок. Точ...
