В§ 1. Топологічні простору
(попередні відомості)
1.1. Безперервні відображення топологічних
просторів
Нехай Х і Y топологічні простори. p> Визначення 1. Відображення f : Х в†’ Y називається безперервним , якщо у всякого безлічі Про , відкритого в просторі Y , повний прообраз f -1 ( Про ) відкритий в просторі Х.
Зауваження 1. Для будь-якої підмножини А простору Y і відображення f : X в†’ Y справедливо наступне рівність:
(1).
Теорема 1.1. Відображення f : X в†’ Y є безперервним тоді і тільки тоді, коли у всякого безлічі F , замкнутого в Y , повний прообраз f - 1 ( F ) замкнутий у Х.
Доказ. Необхідність. Нехай відображення f : X в†’ Y є безперервним, тобто для будь-якого безлічі Про , відкритого в Y , прообраз f -1 ( O ) відкритий в Х , і нехай F довільне замкнутий у Y безліч. Тоді безліч CF відкрито в Y , і безліч відкрито в Х , в силу безперервності відображення f і рівності (1). Отже, безліч f -1 ( F ) замкнуто в Х .
Достатність. Нехай для будь-якого безлічі F , замкнутого в Y , повний прообраз f - 1 ( F ) замкнутий у Х . Розглянемо довільне відкрите в Y безліч О. Тоді безліч CO буде замкнутим в Y . Тому замкнуте в Х безліч. Отже, безліч відкрито в Х . Таким чином, для будь-якого безлічі Про , відкритого в Y , повний прообраз відкритий в Х і відображення f : X в†’ Y безперервне за визначенням. €
1.2. Зв'язність топологічних просторів
Визначення 4. Топологічний простір Х називається незв'язним , якщо його можна розбити на два непорожніх непересічних відкритих безлічі:
Х = Про 1 Про 2 .
Визначення 5. Простір Х називається зв'язковим , якщо такого розбиття не існує.
Зауважимо, що якщо недоладне простір Х розбито на два непорожніх відкритих безлічі Про 1 і Про 2 , не мають спільних точок, то Про 1 = CO 2 і O 2 = CO 1 . Тому можна дати інше визначення зв'язного простору:
Визначення 6. Топологічний простір Х
