> називається зв'язковим , якщо в ньому одночасно відкритим і замкнутим безліччю є лише сам простір або пусте безліч.
Визначення 7. Безліч Н в топологічному просторі Х називається зв'язковим , якщо воно є зв'язковим простором щодо індукованої топології.
Теорема 1.2. Для топологічного простору Х наступні умови еквівалентні:
(1) існують непусті відкриті множини Про 1 і О 2 , для яких Про 1 ∩ Про 2 = Г† і Про 1 Про 2 = Х ;
(2) існують непусті замкнуті безлічі F 1 і F 2 , для яких F 1 ∩ F 2 = Г† і F 1 F 2 = Х ;
(3) в Х існує нетривіальне відкрито-замкнутий безліч G;
(4) існує безперервна сюр'єктивно функція П† : Х В® {1, 2}.
Доказ. З (1) слід (2). Нехай Про 1 і Про 2 непусті відкриті множини, для яких Про 1 ∩ Про 2 = Г† і Про 1 Про 2 = Х . Розглянемо безлічі F 1 = СО 1 і F 2 = СО 2 . Вони є непорожніми замкнутими множинами, причому F 1 ∩ F 2 = Г† і F 1 F 2 = Х.
З (2) слід (3). Нехай F 1 і F 2 непусті замкнуті множини, для яких F 1 ∩ F 2 = Г† і F < sub> 1 F 2 = Х . Розглянемо безліч G = F 1 ГЊ Х . Безліч F 1 замкнутий за умовою і відкрите, як доповнення до замкнутого безлічі F 2 ( F 1 = CF 2 ). Тому безліч G = F 1 є нетривіальним відкрито-замкнутим безліччю в Х .
З (3) слід (4). Нехай G нетривіальне відкрито-замкнутий безліч в Х . Тоді безліч Q = CG теж нетривіальне відкрито-замкнутий у Х . p> Розглянемо функцію П† : Х В® {1, 2}, при якій
П† ( х ) =
Функція П† є безперервною і сюр'єктивно, тому що для будь-яких елементів 1 і 2 множини {1, 2} прообрази їх відповідно рівні множинам G і Q , відкритим в Х .
З (4) слід (1). Нехай П† : ...
