Введення
Подільність - фундаментальне поняття алгебри і теорії чисел. Особливо важливу роль подільність грає в числових кільцях. Числовим кільцем називається безліч комплексних чисел, що містить одиницю 1 і замкнуте щодо арифметичних операцій додавання, віднімання та множення. Якщо числове кільце є полем, тобто кожен його елемент ділиться на кожен ненульовий елемент, то в ньому теорія подільності тривіальна.
Числові кільця рідко бувають факторіальна (гауссова), тобто кільцями, в яких виконується основна теорема арифметики [1, 4, 8, 11-13]. По ідеї німецького математика Е. Куммера, у ряді випадків єдиність розкладання на Непріводімие множники вдається відновити за рахунок додавання ідеальних чисел (дівізоров); для таких кілець існує теорія дівізоров. До них відносяться дедекіндових кільця, названі так по імені іншого німецького математика Р. Дедекинда, яке визначило поняття ідеалу кільця і ??розвинув теорію дівізоров числових кілець на основі теорії ідеалів (друга половина XIX століття). В якості ідеальних чисел у Дедекинда виступали неголовні ідеали кільця. У першій половині XIX століття в працях К. Гаусса була створена теорія порівнянь, розвиваюча і збагачує поняття подільності [1, 8, 11, 13].
Ставлення подільності в кільцях визначається мультиплікативно, через одну операцію множення. Однак багато властивості подільності в кільцях виражаються із залученням і операції додавання і можливості порівнювати елементи кільця за величиною (абсолютна величина цілого числа, ступінь многочлена, норма комплексного числа).
У найзагальнішому і чистому вигляді подільність можна вивчати в группоід. Найбільш пристосованими для цього є цілі напівгрупи [3, 7, 9]
Глава I. Про подільності цілих чисел
З усіх дій арифметики саме норовлива - це поділ. Воно володіє особливими властивостями, можна сказати, особливим «вдачею». Візьмемо хоча б звернення з нулем. Для всіх інших арифметичних дій нуль - рівноправне число. Його можна і додавати і віднімати; воно може бути множником в дії множення, але дільником ніколи. Розділити на нуль взагалі не можна ніяке число, ніяке вираження алгебри. Це - важлива особливість розподілу, і якщо до неї поставитися неуважно, то легко потрапити в халепу; можна, скажімо, «довести» будь завідомо фальшиве твердження - «парадокс».
Як ви поставитеся, наприклад, до такого твердження.
Усяке кількість дорівнює своїй, половині.
«Доказ». Нехай a і b - два рівних кількості: a=b. Помножимо обидві частини цієї рівності на a:
2=ab.
Тепер зменшимо на b 2 і ліву і праву частини рівності. Утворені різниці а 2 - b 2 і ab - b 2 теж будуть рівними:
а 2 - b 2=ab - b 2.
Розкладемо на множники:
(а + b) (а - b)=b (а - b).
Ділимо обидві частини рівності на а - b, після чого виходить така рівність:
а + b=b.
Так як b=а, то в останній рівності можемо замінити b через a, тоді a + a=a, або 2a=a. Розділивши на 2, отримаємо a=a / 2, а це значить, що ціле одно своїй половині (?).
Зовні,...
