Реферат
Метою даної курсової роботи є вивчення особливих властивостей Гамма-функції Ейлера. У ході роботи була вивчена Гамма-функція, її основні властивості та складено алгоритм обчислення з різним ступенем точності. Алгоритм був написаний на мові високого рівня - Сі. Результат роботи програми звірена з табличним. Розбіжностей у значеннях виявлено не було.
Пояснювальна записка до курсової роботи виконана в обсязі 36 аркушів. Вона містить таблицю значень гамма-функції при деяких значеннях змінних і тексти програм для обчислення значень Гамма-функції і для побудови графіка, а також 2 малюнка.
Для написання курсової роботи було використано 7 джерел.
Введення
Виділяють особливий клас функцій, які представлені у вигляді собственого або невласного інтеграла, який залежить не тільки від формальної змінної, а і від параметра.
Такі функції називаються інтегралами залежними від параметра. До їх числа відносяться гамма і бета функції Ейлера. p> Бета функції представіми інтегралом Ейлера першого роду:
В
Гамма функція представляється інтегралом Ейлера другого роду:
В
Гамма-функція відноситься до числа самих простих і значущих спеціальних функцій, знання властивостей якої необхідне для вивчення багатьох інших спеціальних функцій, наприклад, циліндричних, гіпергеометричних та інших. p> Завдяки її введенню значно розширюються наші можливості при обчисленні інтегралів. Навіть у випадках, коли кінцева формула не містить інших функцій, крім елементарних, отримання її все ж часто полегшує використання функції Г, хоча б у проміжних викладках.
Ейлерови інтеграли являють собою добре вивчені неелементарні функції. Завдання вважається вирішеною, якщо вона приводиться до обчислення ейлерових інтегралів.
1. Бета-функци я Ейлера
Бета - функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:
= (1.1)
Він являє функцію від двох змінних параметрів і: функцію B . Якщо ці параметри задовольняють умовам і, то інтеграл (1.1) буде невласним інтегралом, залежних від параметрів і, причому особливими точками цього інтеграла будуть точки і
Інтеграл (1.1) сходяться прі. Вважаючи отримаємо:
= - =
т.e. аргумент і входять до симетрично. Беручи до уваги тотожність
В
за формулою інтегрування почестей маємо
В
Звідки отримуємо
=
(1.2)
При цілому b = n послідовно застосовуючи (1.2)
Отримаємо
В
(1.3)
при цілих = m, = n, маємо
В
але B (1,1) = 1, отже:
В В
Покладемо в (1.1). Так як графік функції симетрична відносно прямої, то
В
і в результаті підстановки, отримуємо
В
вважаючи в (1.1), звідки, отримаємо br/>В
(1.4)
розділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 і від ...
