1 до і застосування до другого інтегралу підстановкиВ , Отримаємо
2. Гамма-функція
2.1 Визначення
Знак оклику в математичних працях зазвичай означає взяття факторіала якого-небудь цілого невід'ємного числа:
n! = 1.2.3 В· ... В· n. p> Функцію факторіал можна ще записати у вигляді рекурсіонного співвідношення:
(n +1)! = (N +1) В· n!. p> Це співвідношення можна розглядати не тільки при цілих значеннях n. p> Розглянемо різницеве ​​рівняння
G (z +1) = zG (z). p> (2.1) p> Незважаючи на просту форму запису, в елементарних функціях це рівняння не вирішується. Його рішення називається гамма-функцією. Гамма-функцію можна записати у вигляді ряду або у вигляді інтеграла. Для вивчення глобальних властивостей гамма-функції зазвичай користуються інтегральним поданням.
2.2 Інтегральне подання
Перейдемо до вирішення цього рівняння. Будемо шукати рішення у вигляді інтеграла Лапласа:
В
У цьому випадку права частина рівняння (2.1) може бути записана у вигляді:
В В
Ця формула справедлива, якщо існують межі для внеінтегрального члена. Заздалегідь нам не відомо поведінку образу [(G) tilde] (p) при p В® В± ВҐ. Припустимо, що образ гамма-функції такий, що внеінтегральное доданок дорівнює нулю. Після того, як буде знайдено рішення, треба буде перевірити, чи вірно припущення про внеінтегральном доданку, інакше доведеться шукати G (z) як-небудь по-іншому. p> Ліва частина рівності (2.1) записується таким чином:
В
Тоді рівняння (2.1) для образу гамма-функції має вигляд:
В
Це рівняння легко вирішити:
В
(2.2)
Неважко помітити, що знайдена функція [(Г) tilde] (p) насправді така, що внеінтегральний член у формулі (2.2) дорівнює нулю. p> Знаючи образ гамма-функції, легко отримати і вираз для прообразу:
В
Це неканонічна формула, для того, щоб привести її до вигляду, отриманому Ейлером, треба зробити заміну змінної інтегрування: t = exp (-p), тоді інтеграл прийме вигляд:
В
Постійне C вибирається так, щоб при цілих значеннях z гамма-функція збігалася з функцією факторіал: Г (n +1) = n!, тоді:
В
отже C = 1. Остаточно, одержуємо формулу Ейлера для гамма-функції:
В
(2.3)
Ця функція дуже часто зустрічається в математичних текстах. При роботі зі спеціальними функціями, мабуть, навіть частіше, ніж знак оклику. p> Перевірити, що функція, певна формулою (2.3), дійсно задовольняє рівнянню (2.1), можна, проінтегрувавши інтеграл в правій частині цієї формули по частинах:
В
2.3 Область визначення і полюси
У подинтегральной функції інтеграла (2.3) при експонента exp (-tz ) при R ( z )> 0 убуває набагато швидше, ніж зростає алгебраїчна функція t (z-1) . Особливість в нулі - інтегрована, тому невласний інтеграл у (2.3) сходиться абсолютно і рівномірно при R (z)> 0. Біл...
