Теорія поля і елементи векторного аналізу
Елементи математичної теорії скалярних і векторних полів
Математична теорія поля займається вивченням його властивостей, відволікаючись від його конкретного фізичного сенсу. Тому одержуване в цій теорії поняття і закономірності відносяться до всіх конкретним полям.
Визначення 1
Полем називається сукупність значень тієї чи іншої величини (швидкість, щільність, тиск і т.п.), заданих в кожній точці розглянутій області.
Якщо розглянута величина
а) скаляр , то поле називається скалярним, наприклад
- поле щільності
б) вектор , то поле називається векторним
- поле швидкостей
в) тензор , то поле називається тензорним
- поле напруг.
Визначення 2
Якщо значення розглянутих величин не змінюються в часі , то поле називається стаціонарним (сталим), якщо ж вони змінюються в часі , то поле називається нестаціонарним.
Тут ми зупинимося на розгляді властивостей стаціонарних полів.
Скалярний полі
Характеристики скалярного поля
1) Скалярний поле характеризується поверхнею рівня (див. рис.)
2) Градієнт поля визначається як вектор, складений з приватних похідних
(1)
Він спрямований по нормалі до поверхонь рівня і характеризує величину і напрям наібистрейшего зміни величини поля. Повний диференціал скалярного поля можна представити у вигляді:
, (2)
де.
3) Похідна за напрямом (див. рис. 2) визначається як проекція градієнта на даний напрям
(3)
Приватний випадок: похідна по нормалі :
(4)
4) Приватні і повні похідні за часом
Розглянемо нестаціонарне скалярнийполе:
В
Швидкість зміни r у фіксованій точці дорівнює і називається приватної похідної ( локальної похідної). Нехай задана деяка траєкторія в просторі, де визначено скалярнийполе (рис. 3)
В В
Швидкість зміни r уздовж траєкторії визначається як повна похідна за t від складної функції і дорівнює:
(5)
- конвективна похідна, вона пов'язана з переміщенням точки (частки) з однієї точки простору в іншу.
Зауваження :
ОператорГ‘ В« Набла В» - це грецьке слово, що означає В«арфаВ» - музичний інструмент, за формою нагадує перевернутий трикутник.
Характеристики векторного поля
1) Векторна лінія - крива, напрям якої у кожній її точці збігаються з напрямом вектора, що відповідає цій точці (див. рис. 4)
і
- колінеарні (паралельні) вектори і, отже,
| | =
= lГћ = l
(6)
2) Похідна від вектора за напрямом визначається наступним чином:
(7)
- напрямні косинуси вектора, в декартовій системі координат.
Доказ :
Врахуємо, що
В
і так далі, підставимо в, отримаємо:
В
+
+
В
Отже, ми довели
.
3) Приватна і повна похідні за часом від вектора
(9)
Доказ :
В В В
4) Потік вектора через поверхню. Дивергенція
- потік векторної величини через елементарну майданчик (елементарний потік)
(11)
векторний потік через незамкнену майданчик;
(12)
потік вектора через замкнуту майданчик.
-
потік вектора швидкості через поверхню S дорівнює обсягу рідини, що протікає через цю майданчик поверхні за одиницю часу.
За теоремою Остроградського-Гаусса (рис. 7)
(13)
Стискаючи обсяг і, отже отримаємо, використовуючи теорему осреднения
(14)
Отже, можна визначити як межу
(15)
Приклад :
У гідродинаміки поле швидкостей має
В
дивергенція дорівнює кількості рідини, розрахованому на одиницю об'єму, що випливає з даної точки простору за одну секунду, тобто дорівнює потужності джерела рідини (якщо> 0).
Якщо <0, то в цих точках простору розташований стік рідини, з потужністю.
5. Циркуляція вектора вздовж лінії
Роток векторного поля
Елементарна циркуляція вектора вздовж лінії dl дорівнює (рис. 8а)
(16)
Циркуляція вектора вздовж замкнутої лінії L (рис. 8б)
(17)
Нехай контур L обмежує деяку поверхню S (рис. 8в). Використовуємо теорему Стокса і ...
