перетворимо інтеграл по кривої L в інтеграл по поверхні S :
(18)
Роток (вихор) вектора визначається як
(19)
Визначення
Циркуляція вектора вздовж замкнутого контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, обмежену цим контуром (Рис. 9)
(20)
Потенційне векторне поле
Визначення :
Векторне полі називається потенційним, якщо існує скалярна величина, така, що
В
- називається скалярним потенціалом поля.
Властивості потенційного поля
1. У потенційному полі відсутні вихори (відсутній ротація), тобто
В
Доказ:
В
2. Циркуляція по будь-якому замкнутому контуру дорівнює нулю (це наслідок п.1)
В
3. Робота потенційного поля при переміщенні точки з одного положення в інше не залежить від шляху з'єднує ці положення і дорівнює різниці потенціалів в кінцевих точках.
Циркуляція потенційного поля не залежить від виду кривої, що з'єднує дві різні точки, і дорівнює різниці значень потенціалу в даних точках.
В
звідси отримуємо
В В В
4. Векторні лінії потенційного поля не можуть бути замкненими.
Доказ від протилежного:
Припустимо, що є замкнута векторна лінія L . Тоді за визначенням векторної лінії вздовж відповідного контуру і, отже, і циркуляція по ньому більше нуля, що суперечить властивості 2.
5. Сума потенційних векторних полів є потенційним полем, і потенціал суми полів дорівнює сумі потенціалів.
соленоідальной векторне поле
Визначення :
Векторне поленазивается соленоїдом (вихровим), якщо існує векторна величина така, що
= rot
- називається векторним потенціалом поля.
Властивості соленоідального поля
1. Для того щоб поле було соленоїдом, необхідно і достатньо, щоб у всій розглянутій області виконувалося рівність div = 0, тобто його потік через всяку замкнуту поверхню, занурену в полі, = 0. Отже, соленоідальной поля позбавлені джерел і стоків. p> Зауваження : Це властивість можна покласти у визначення.
Доказ грунтується на тому, що
=
Слідство = 0
В
як наслідок цієї властивості отримуємо, що потік вектора соленоідального поля через дві однаково орієнтовані поверхні S 1 і S 2 , що спираються на один і Того ж контур L , однаковий.
2. Потік соленоідального поля через два будь перерізу векторної трубки однаковий.
Доказ:
Відрізок векторної трубки, обмежений перетинами S 1 , S 2 і S d , можна розглядати як замкнуту поверхню, вміщену в соленоідальной полі. Тому
, але, тому що . br/>
Враховуючи, що і направлені в протилежні сторони, і вводячи (-), отримаємо
звідси випливає
3. У соленоідальной поле векторні лінії або замкнуті, або йдуть до межі поля. Так як, то векторні лінії поля не можуть починатися або кінчатися в області поля, інакше в ...? буде існувати сток або витік, що суперечить властивості 1.
4. Сума соленоїдальних векторних полів є соленоідальной полі.
Потенційне нестисливої вЂ‹вЂ‹полі. Гармонійне поле
, звідси випливає =
В
Це поле часто називають гармонійним або полем Лапласа.
Резюме
По заданому полю ми завжди можемо знайти поля u і. Справедливо і зворотне твердження: за відомим u і завжди можна знайти шукане поле.
Нехай поле відомо, тоді потенціали u і знаходяться з рівнянь:
В
Якщо u і відомі, тоді векторне поле визначається з рівнянь:
В
Ці рівняння завжди можна розв'язати.
Теорема про разложимости довільного векторного поля
Довільний векторне поле завжди може бути представлено у вигляді суми потенційного і соленоідального полів.
Визнач
В
де;
В
і, отже
Потенціали і u повинні задовольняти наступному співвідношенню:
1. br/>
але дивергенція соленоідального поля повинна дорівнювати 0.
В
звідси
в„ў
2. p> (**)
Для визначення та u отримали два диференціальних рівняння, які завжди мають рішення і, отже, довільне поле завжди можна представити у вигляді суми потенційного і соленоідального полів.
Знаходження векторного поля за його характеристиками
Для знаходження та u потрібно вирішити систему чотирьох рівнянь
В
Нехай відомі характеристики векторного поля
(1)...
