Зміст
Введення
. Аффінниє різноманіття
. Проективні різноманіття
Список літератури
Додаток: допоміжні визначення з алгебри
ВСТУП
Дану роботу можна назвати введенням в алгебраїчну геометрію.
Вона складається з двох частин.
Перша частина містить визначення аффінних різноманіть і пов'язаних з аффіннимі різноманітті понять. Також наводиться кілька прикладів у вигляді завдань і вирішення до цих завдань. p align="justify"> Друга частина - про проективних многовидах - будується за тією ж схемою, що й перша.
Усі пов'язані визначення з алгебри, необхідні для прочитання даної роботи описані в частині додаток.
1. Аффинную різноманітті
? Нехай фіксоване алгебраїчно замкнуте поле. nмерним аффінним простором над будемо назвати безліч наборів n елементів з поля, позначимо цей простір. Елемент, де, будемо називати точкою афінного простору, а всі - координатами цієї точки. p> Нехай кільце многочленів.
В
це безліч нулів будь-якого многочлена з. Більш загальним чином можна говорити про безліч нулів:
,
де довільна підмножина многочленів з.
Тепер наведемо кілька основних визначень.
аффинную (алгебраїчним) безліччю називається підмножина в, якщо існує таке підмножина, що.
Непорожнє підмножина топологічного простору називається непріводімим, якщо його не можна представити у вигляді такого об'єднання:, де і - замкнуті, власні підмножини в. Наприклад, аффинная пряма непріводімим, так як її власні замкнуті підмножини кінцеві, а як безліч нескінченно. p> непріводімим замкнута підмножина простору називається аффінним алгебраїчним різноманіттям (або просто аффінним різноманіттям). Відкрите підмножина афінного різноманіття називається квазіаффінним різноманіттям. p> Для будь-якої підмножини визначимо його ідеал в:
.
Нехай аффинное алгебраїчне безліч, відповідний йому ідеал. Факторкольцо
В
будемо називати аффінним координатним кільцем множини. Зауважимо, що у разі коли аффинное різноманіття, кільце є цілісним (не містить дільники нуля). Більше того, є конечнопорожденной алгеброю. p> Визначимо Топологію Зарисского на. В якості відкритих підмножин виберемо доповнення до всіляких алгебраїчним множинам це дійсно топологія, так як перетин двох відкритих множин і об'єднання будь-якого сімейства відкритих множин знову є відкритими (1, гл.I, пропозиція 1.1). Крім того , пусте безліч і всі простір теж є відкритими множинами.
Наприклад, з'ясуємо, як влаштована топологія Зорісского на аффинной прямій. Кожен ідеал в кільці є головним, тому кожне алгебраїчне безліч - це безліч нулів одн...
