ого многочлена, так як поле алгебраїчно замкнуто, то всякий ненульовий многочлен може бути записаний у вигляді
,
де.
У такому випадку,. Таким чином, алгебраїчні множини в - це всілякі кінцеві підмножини (включаючи порожній безліч) і вся пряма, відповідна нульового многочлену. Отже, відкритою безліччю в є порожній безліч і доповнення до кінцевих підмножини. p> Топологічний простір називається нетеровим, якщо для його замкнутих підмножин виконується умова обриву зростаючих ланцюжків: для будь-якій послідовності замкнутих підмножин в, існує таке ціле число s, що.
Для можливості просування далі, а точніше для переходу до проективних просторів, необхідно розібрати кілька прикладів.
Приклад 1.1 Доведемо, що простір нетеровим. Якщо спадаючий ланцюжок замкнутих підмножин, то зростаюче ланцюжок ідеалів у. Т.к. кільце нетеровим (по слідству з теореми Гільберта про базис), то цей ланцюжок ідеалів обривається. Але так як, ланцюжок підмножин також обривається, що і слід було довести. p> Приклад 1.2 Нехай плоска крива. Показати, що ізоморфно кільцю багаточленів від однієї змінної над полем. p> Необхідно зауважити, що є безліч нулів многочлена, тобто
.
Переформулюємо завдання в термінах, що використовуються в даній роботі: Нам потрібно довести, що. У даному випадку зрозуміло, що є аффінним різноманіттям, аффінним координатним кільцем. Тепер розглянемо існування ізоморфізму:
(1)
Зрозуміло, що
В
сюр'єктивно гомоморфізм алгебр. Тоді вираз (1) включається до комутативними трикутник алгебр
В
В
І визначається відповідністю. Безпосередня перевірка визначення показує, що гомоморфізм. Зворотний йому задається відповідністю. Це показує, що - гомоморфізм. p> Приклад 1.3 Нехай алгебраїчне безліч в, певне двома многочленами та. Показати, що розбивається в об'єднання непріводімих компонент. p> Розглянемо систему рівнянь:
,
Тепер уявімо друге рівняння системи у вигляді сукупності двох рівнянь, потім об'єднаємо з першим рівнянням і запишемо нову систему:
В
Дану систему розіб'ємо в систему двох сукупностей, і будемо продовжувати так далі:
В
Таким чином, ми розклали в об'єднання непріводімих компонент, заданих ідеалами.
Приклад 1.4 Показати, що комутативна асоціативна алгебра з одиницею тоді і тільки тоді ізоморфна аффинную координатного кільцю деякого алгебраїчного множини в для деякого, коли звичайно породжена над.
алгебра звичайно породжена, якщо існує сюр'єктивно гомоморфізм:
,
з ядром
При цьому
.
Оскільки кільце нетеровим, то ідеал звичайно породжений, в ньому можна вибрати кінцеву систему утворюють
В
Тоді система рівнянь задає шукане підмножина, таке, що.
Зворотно, нехай алгебра ізоморфна коорди...
