Алгебраїчні розширення полів
Введення.
У педагогічних вузах введена програма єдиного курсу алгебри і теорії чисел. Головна мета цього курсу-вивчення основних алгебраїчних систем і виховання алгебраїчній культури, необхідної майбутньому вчителю для глибокого розуміння цілей і завдань як основного шкільного курсу математики, так і шкільних факультативних курсів. p> На наш погляд, найбільш доцільним є введення в шкільне викладання елементів сучасної абстрактної алгебри. p> Розпочатий у ХХ столітті процес алгебраизации математики не припиняється, а це викликає наполегливі спроби введення у шкільну математичну освіту основних алгебраїчних понять. p> Математична глибина і надзвичайно широка сфера застосування полів поєднуються з простотою її основних положень - понять полів, цілий ряд важливих теорем можна сформулювати і довести, володіючи початковими уявленнями у сфері теорії множин. Тому теорія полів як не можна краще підходить для того, щоб показати школярам зразок сучасної математики. p> Крім того, вивчення елементів теорії поля корисно для школярів, сприяє їх інтелектуальному зростанню, проявляющемуся в розвитку і збагаченні різних сторін їхнього мислення, якостей і рис особистості, а також вихованню в учнів інтересу до математики, до науки. h2> 1. Просте алгебраїчне розширення поля.
1.1.Простое розширення поля.
Нехай P [x] - кільце поліномів від x над полем P, де P - підполе поля F. Нагадаємо, що елемент a поля F називається алгебраїчним над полем P, якщо a є коренем якогось полінома позитивної ступеня з P [x]. p> Визначення. Нехай P Нехай a0F, P [x] - Кільце поліномів від x і
P [x] = {f (a) * f0P [x]},
т. е. P [a] є безліч всіх виразів виду a0 + a1a + ... + anan, де а0, a1, ... an0P і n - будь-яке натуральне число. p> Легко бачити, що алгебра + P [a], +, -,., +1, - подкольцо поля P (a) - є кільцем; це кільце позначається символом P [a]. p> Теорема 1.1. Нехай P [X] - кільце поліномів від х над P і P (a) - просте розширення поля P. Нехай y - відображення P [x] на P [a] таке, що y (f) = f (a) для будь-якого f з P [x]. Тоді:
(а) для будь-якого а з Р y (а) = а;
(b) y (x) = a;
(с) y є гомоморфізмом кільця P [x] на кільце P [a];
(d) Ker y = {f0P [x] * f (a) = 0}; p> (е) чинник-кільце P [x]/Кег y ізоморфно кільцю P [a]. p> Доказ. Затвердження (а) і (b) безпосередньо випливають з визначення y. Відображення y зберігає головні операції кільця P [x], так як для будь-яких f і g з P [x]
y (f + g) = f (a) + g (a), y (fg) = f (a) g (a), y (1) = 1.
Далі, за умовою, y є відображення Р [х] на Р [a]. Отже, y є гомоморфізмом кільця P [X] на кільце P [a]. p> Затвердження (d) безпосереднь...
