о випливає з визначення відображення y.
Оскільки y - гомоморфізм кільця P [X] на P [a], то фактор-кільце P [x]/Кег y ізоморфно кільцю P [a]. p> Слідство 1.2. Нехай a - трансцендентний елемент над полем P. Тоді кільце поліномів P [X] ізоморфно кільцю P [A]. p> Доказ. У силу трансцендентності a над P Kery = {0}. Тому P [x]/{0} - P [a]. Крім того, фактор-кільце кільця P [x] по нульовому ідеалу ізоморфно P [x]. Отже, P [x] - P [a]. h2> 1.2.Мінімальний поліном алгебраїчного елемента.
Нехай P [x] - кільце поліномів над полем P. p> Визначення. Нехай a - алгебраїчний елемент над полем P. Мінімальним поліномом елемента a, над P називається нормований поліном з P [x] найменшій мірі, коренем якого є a. Ступінь мінімального полінома називається ступенем елемента a над P.
Легко бачити, що для всякого елемента a, алгебраїчного над P , Існує мінімальний поліном. p> Пропозиція 1.3. Якщо а - алгебраїчний елемент над полем P, а g і j - його мінімальні поліноми над P, то g = j. p> Доказ. Ступені мінімальних поліномів g і j збігаються. Якщо g В№ j, то елемент a (ступеня n над P) буде коренем полінома g - j, ступінь якого менше ступеня полінома j (менше n), що неможливо. Отже, g = j. p> Теорема 1.4. Нехай a - алгебраїчний елемент ступеня n над полем P (aГіP) і g - його мінімальний поліном над P. Тоді:
(а) поліном g неприводим в кільці P [x];
(b) якщо f (A) = 0, де f 0 P [x], то g ділить f;
(с) фактор-кільце P [x]/(g) ізоморфно кільцю P [a]; p> (d) P [X]/(g) є полем;
(е) кільце P [a] збігається з полем P (A). p> Доказ. Припустимо, що поліном g наводимо в кільці P [X], тобто існують в P [x] такі поліноми j і h, що
g = jh, 1 ВЈ deg j, deg h1 над полем P; f і h - Поліноми з кільця поліномів P [x] і h (a) В№ 0. Потрібно представити елемент f (a)/h (a) 0P (a) у вигляді лінійної комбінації ступенів елемента a, тобто у вигляді j (a), p> де j0P [x]. p> Це завдання вирішується таким чином. Нехай g - мінімальний поліном для a над P. Так як, по теоремі 1.4, поліном неприводим над P і h (a) В№ 0, то g поділяє h і, значить, поліноми h і g - взаємно прості. Тому існують в P [x] такі поліноми u і v, що
uh + vg = 1 (1)
Оскільки g (a) = 0, з (1) випливає, що
u (a) g (a) = 1, 1/h (a) = U (a). p> Отже, f (a)/h (a) = f (a) u (a), причому f, u 0P [x] і f (a) u (a) 0P [a]. Отже, ми звільнилися від ірраціональності в знаменнику дробу f (a)/h (a) . p> Приклад. p> Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу
.
Рішення. У нашому випадку a =. Мінімальним многочленом цього числа є
p (x) = x3-2.
Багаточлени p (x) і g (x) =-x2 + x +1 взаємно прості. Тому існують такі многочлени j і y, що
pj + gy = 1.
Для відшукання j і y застосуємо алгоритм Евкліда до многочленів p і g:
-x3-2-x2 + x +1-x2 + x +1 2x-1
x3-x2-x -X-1-x2 +1/2x -1/2x +1/4
x2 + x-2 1/2x +1
x2-x-1 1/2x-1/4 p> 2x-1 5/4 <...
