ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ АДМІНІСТРАЦІЇ ВОЛОДИМИРСЬКІЙ ОБЛАСТІ
ГБОУ СПО ВО «Володимирський політехнічний коледж»
РЕФЕРАТ
з дисципліни «Елементи математичної логіки»
за темою «Групи, кільця, поля»
Виконав
студент групи ПКС - 212
Ещеркін Кирило
Перевірив
викладач
Михайлова Е.В.
ЗМІСТ
Введення
. Трохи історії
. Групи
. Кільця
. Поле
. Кінцеве поле
Висновок
Анотований список літератури
ВСТУП
Вища алгебра вивчає множини і визначені на них операції. Вона займає центральне місце в сучасній математиці. Велика також роль алгебри в додатках. Цей реферат присвячений короткому введенню в теорію основних алгебраїчних систем: груп, кілець, полів. Слід також звернути увагу на побудову кінцевих полів. Ці дивовижні об'єкти, що виникають з чисто алгебраїчного розгляду, відіграють велику роль у сучасній комбінаториці та інформатики. Найбільш важливим, прикладом використання кінцевих полів для вирішення комбінаторної задачі прикладного характеру, є теорії кодів, що виправляють помилки. З'явилися ці коди в середині минулого століття, коли для передачі секретних повідомлень (скажімо, наказів у війська) стала активно використовуватися радіозв'язок. Повідомлення потрібно було шифрувати, а за перешкод при передачі можливі помилки, які можуть зробити розшифровку неможливою або безглуздою (або того гірше: осмисленої, але помилковою). Щоб підвищити надійність повідомлення, можна передати кожен символ кілька разів. Скажімо, якщо при передачі азбукою Морзе передавати кожну точку тричі і кожне тире тричі, то одна помилка в передачі символу не заважає відновленню вихідного повідомлення. Але при такому способі кодування переданих символів довжина повідомлення (і час передачі) збільшується в три рази. Природно виникає питання: як кодувати повідомлення, щоб збереглася стійкість до помилок і не сильно зростала довжина повідомлення. Це і є завдання про побудову кодів, що виправляють помилки. Порівняно легко можна показати, що існують хороші коди, в яких потрібно використовувати трохи додаткових символів. Але для практичних потреб однієї теореми існування мало: потрібні явні конструкції кодів. Крім того, природним практичним вимогою є простота декодування переданих повідомлень. Дивно, але вся теорія побудови хороших кодів виявляється тісно пов'язаної з алгеброю. Вивчивши лише самі основи цієї науки, ми зможемо побудувати тільки найпростіші коди такого типу. Вони, втім, виявляються досить важливими з практичної точки зору завдяки ефективним алгоритмам декодування. Цей приклад використання алгебри є досить показовим. Дуже часто в комбінаториці зустрічається саме така ситуація: можна порівняно легко довести, що об'єк екти з деякими властивостями існують (іноді навіть, що майже всі об'єкти задовольняють потрібного властивості), але явно пред'явити хоча б один такий об'єкт набагато складніше. І в дуже багатьох випадках явні конструкції...
