Введення
На практиці в більшості випадків знайти точне рішення виниклої математичної задачі не вдається. Це відбувається головним чином не тому, що ми не вміємо цього робити, а оскільки дані рішення зазвичай не виражається в звичних для нас елементарних або інших відомих функціях. Тому важливе значення набули чисельні методи, особливо у зв'язку із зростанням ролі математичних методів в різних областях науки і техніки і з появою високопродуктивних ЕОМ. p align="justify"> Під чисельними методами маються на увазі методи розв'язання задач, що зводяться до арифметичним і деякими логічними діям над числами, тобто до дій, які виконує ЕОМ. Залежно від складності завдання, заданої точності, застосовуваного методу може знадобитися виконати від декількох десятків до багатьох мільярдів дій. p align="justify"> Рішення, отримане чисельним методом, зазвичай є наближеним, тобто містить деяку погрішність. Джерелами похибки наближеного рішення є: 1) невідповідність математичної задачі досліджуваному реальному явищу, 2) похибка вихідних даних; 3) похибка методу рішення; 4) похибки округлень в арифметичних та інших діях над числами. p align="justify"> Похибка у вирішенні, обумовлена ​​першими двома джерелами, називається непереборний. Ця похибка може бути присутнім, навіть якщо рішення поставленої математичної задачі знайдено точно. Питання про те, наскільки добре описує математичну модель досліджуване явище, перевіряється шляхом порівняння результату експериментів і типових приватних рішень при деяких значень вхідних параметрів. Вплив похибки вихідних даних часто вдається оцінити елементарними засобами, наприклад варіюючи вихідні дані в межах їх похибок і фіксуючи рішення. Якщо вихідних даних багато, а їх похибки носять випадковий характер, то на допомогу можуть прийти статистичні методи. У деяких випадках неусувну похибку можна розглядати як похибка функції, що виникає за рахунок похибки аргументів. p align="justify"> Чисельні методи в більшості випадків самі по собі є наближеними, тобто навіть при відсутність похибки у вхідних даних і при ідеальному виконання арифметичних дій вони дають рішення вихідної задачі з деякою погрішністю, званої похибкою методу. Це відбувається тому, що чисельним методом зазвичай вирішується деяка інша, більш просте завдання, апроксимуюча (наближає) вихідну завдання. У ряді випадків використовуваний чисельний метод будуватися на базі нескінченного процесу, який в межі призводить до шуканого рішення. Однак реальний граничний перехід зазвичай не вдається здійснити, і процес, перерваний на деякому кроці, дає наближене рішення. p align="justify"> Чисельний метод зазвичай залежить від одного або декількох параметрів, якими можна розпоряджатися. В якості такого параметра служить, наприклад, число ітерацій при вирішенні систем рівнянь або число врахованих членів при підсумовування ряду, а також крок, з яким використовуються значення підінтегральної функції ...
