Рішення чисельними методами крайової задачі математичної фізики
1. Теоретико-аналітична частина
.1 Постановка завдання
Дослідити вимушені поперечні коливання консольного стрижня довжини, до правого кінця якого, що знаходиться в стані рівноваги, прикладається, починаючи з моменту часу, розтягуються сила. Знайти амплітуду поперечного відхилення консолі в точці від положення рівноваги в момент часу. p> Продемонструвати фізику процесу.
Вихідні дані:
Постановка завдання
- рівняння руху коливань стрижня
В
де,
Граничні умови
Так як на лівому кінці стрижень затиснений, а до права кінця стрижня застосовується сила, що розтягує, то граничні умови мають такий вигляд:
В
Початкові умови
Так як коливання відбуваються під впливом сили, що розтягує і в початковий момент стрижень знаходиться в спокої, то початкові умови можна записати наступним чином:
В
1.2 Виведення рівняння руху з основних законів фізики
Стрижень - пружне тверде тіло, довжина якого значно перевищує його поперечні розміри.
Розглянемо стрижень циліндричної форми, на який діє вздовж осі стрижня сила.
Досліджуємо такі коливання стрижня, при яких поперечні перерізу площею, переміщаючись уздовж осі стрижня, залишаються плоскими і паралельними один одному. Дані припущення виправдовуються, якщо поперечні розміри стержня малі в порівнянні з його довжиною. p> Поздовжні коливання виникають тоді, стрижень попередньо трохи розтягується (або стискається), а потім надається самому собі.
В
Рис. 1. Стержень
Направимо вісь уздовж осі стрижня і будемо вважати, що в стані спокою кінці стрижня мають відповідно абсциси і. Розглянемо перетин; його абсциса в стані спокою. Зсув цього перерізу в будь-який момент часу буде характеризуватися функцією
Знайдемо відносне подовження ділянки стрижня, обмеженого перетинами і.
Якщо абсциса перерізу в стані спокою, то зсув цього стрижня в момент часу з точністю до нескінченно малих вищого порядку одно:
В
Звідси ясно, що відносне подовження стрижня в перетині з абсцисою в момент часу виражається похідною:
В
Вважаючи, що стрижень здійснює малі коливання, можна обчислити натяг, що викликають це подовження. Натяг підкоряється закону Гука. Знайдемо величину сили натягу, що діє на перетин:
В
де - площа поперечного перерізу стрижня, а модуль пружності (модуль Юнга) матеріалу стрижня.
Відповідно сила, що діє на перетин дорівнює
В
Візьмемо елемент стрижня, укладений між пе...
