Застосування аналітичних методів для задач математичного програмування
Методика аналітичного рішення задачі умовної оптимізації з обмеженнями типу нерівностей
Для аналітичного рішення задачі типу
(1.1) (1.2)
пропонується використовувати методику, в основі якої лежить теорема Куна і Таккера, що представляє собою в загальному випадку необхідні умови мінімуму цільової функції при наявності обмежень типу нерівностей на безліч допустимих значень векторного аргументу функції. У розглянутому додатку цю методику доцільно представити у вигляді наступного розширеного алгоритму. p align="justify">. Формування функції Лагранжа. p align="justify"> Виходячи з позначень прийнятих у постановці (1.1, 1.2), функція Лагранжа матиме вигляд:
(2.1)
де ? - вектор множників Лагранжа розмірності [mxl], що відповідає кількості обмежень gj (х) <0, j = l, ..., m.
. Застосування необхідних умов (НУ) у формі Куна і Таккера для визначення умовних стаціонарних точок для задачі (1.1, 1.2). p align="justify"> У компактній формі для випадку мінімізації функції умови Куна і Таккера можуть бути записані у вигляді:
В
В
В В
Де і -координати стаціонарних точок.
При розгляді конкретних завдань, в яких кількості обмежень більше одного тобто при m> 1 можливі різні поєднання активних і пасивних обмежень:
(2.3)
Де I1 - безліч номерів індексів активних обмежень, I2 - безліч номерів індексів пасивних обмежень (сума елементів цих множин завжди дорівнює m).
Очевидно, що в цих випадках НУ (2.2) повинні бути застосовані при всіх
можливих поєднаннях активних і пасивних обмеження, включаючи крайні випадки:
коли безліч номерів активних обмежень I1 пусто (? = 0), тобто фактично розглядається задача безумовної оптимізації; і коли кількість активних обмежень, тобто кількість елементів множини I1 дорівнює розмірності вектора х - [nxl] (так звані В«кутовіВ» точки, тоді ця точка фіксується активними обмеженнями і не допускає варіації цільової функції (мається на увазі коректна постановка задачі (1.1,1.2) .
В результаті застосування НУ для всіх можливих поєднань активних
обмежень будуть отримані варіанти стаціонарних точок - , яких можуть виявитися умовні локальні мінімуми і, в кінцевому ...
