ретинами і. На цей елемент діють сили і, докладені в цих перетинах і спрямовані вздовж осі. Результуюча цих сил має величину
В
і спрямована також уздовж осі.
З іншого боку, прискорення елемента одно, внаслідок чого, використовуючи другий закон Ньютона, ми можемо написати рівність
(1)
де об'ємна щільність стрижня, маса виділеної ділянки стрижня
Скорочуючи і вводячи позначення, для вільних поздовжніх коливань однорідного стержня можна отримати диференціальне рівняння в приватних похідних:
(2)
Форма цього рівняння показує, що поздовжні коливання стрижня носять хвильовий характер, причому швидкість поширення поздовжніх хвиль визначається формулою
В
Якщо додатково припустити, що до стрижня прикладена зовнішня сила, розрахована на одиницю об'єму і діє вздовж осі стрижня, то до правої частини рівняння (1) додасться доданок і рівняння (1) прийме вигляд:
(3)
(4)
це рівняння вимушених поздовжніх коливань стержня.
1.3 Перевірка завдання критерію розмірності
В В В
Висновок: розмірності збігаються
1.4 Аналітичне рішення задачі
В
Граничні умови:
В
Початкові умови:
В
Так як граничні умови ненульові, використовувати безпосередньо метод Фур'є можна. За допомогою введення нової змінної, наведемо граничні умови до нуля:
В
тоді: граничні умови:
В
початкові умови:
В
приватні похідні:
.
Таким чином, постановка задачі для нової функції має наступний вигляд:
граничні умови:
В
початкові умови:
В
У силу того, що завдання неоднорідна представимо функцію у вигляді:
В
де функція буде описувати власний коливань стрижня, а - вимушені.
Власні коливання
Розглянемо завдання для, яка описує власні коливання стрижня.
В
граничні умови:
В
початкові умови:
В
За методом Фур'є рішення можна представити у вигляді добутку функцій, кожна з яких залежить тільки від однієї змінної:
,
Так як тривіальне рішення не може бути з фізичної трактуванні завдання, тоді це рівняння можна записати:
В
Дві функції від різних змінних рівні між собою тільки тоді, коли вони константи. Константу запишемо у вигляді. Тоді рівняння можна звести до наступного вигляду:
В
Рішення диференціального рівняння II порядку з постійними коефіцієнтами шукаємо на основі характеристичного рівняння:
В
Коріння цього характеристичного рівняння:
В
Отже, загальне рішення можна записати у вигляді:
<...
