або, як кажуть, «формально» все правильно, а по суті десь в наведених викладках є дефект. Ви, звичайно, були уважні і помітили, в якій частині перетворень мається вада.
«Вдача» розподілу проявляється не тільки по відношенню до нуля. Математична теорія приділяє багато уваги властивостям цілих чисел і законам, керуючим діями над ними. Так от, якщо обмежитися безліччю одних тільки цілих (позитивних і негативних) чисел, то знову-таки «вередує» тільки одну дію: розподіл. Воно, як ви знаєте, не завжди здійснимо в області цілих чисел. Прийнято вважати так, що ціле число a ділиться на ціле число b, якщо серед цілих же чисел знайдеться таке число c, твір якого на b дає точно чіслоa; якщо ж такого числа немає, то a не ділиться на b.
Всі ці особливості розподілу і сприяли виникненню таких понять, як прості числа, найбільший спільний дільник (Н. О. Д.), найменше спільне кратне (Н. О. К.), ознаки подільності чисел, а поступовий розвиток теорії подільності чисел привело до глибокого розширенню всієї теорії чисел.
.1 Поняття подільності
Сума, різниця і твір цілих чисел завжди є цілим числом, тобто, в безлічі цілих чисел завжди здійсненні дії додавання, віднімання та множення. Інакше йде справа з поділом. Дія ділення в безлічі цілих чисел здійснимо не завжди.
Нагадаємо, що розділити ціле число a на ціле число b - це означає знайти таке k, при множенні якого на b виходить a, тобто bk=a. Якщо для цілих чисел a і b таке ціле число k існує, то говорять, що a ділиться на b.
Визначення. Ціле число a ділиться на ціле число b, не рівне нулю, якщо існує ціле число k таке, що a=bk.
Якщо a ділиться на b, то b називається дільником числа a.
Наприклад, - 48 ділиться на 8, так як існує таке ціле число k, що - 48=8k, а саме k=- 6; число 35 не ділиться на 4, так як не існує такого цілого числа k, при якому вірно рівність 35=4 k.
Замість «a ділиться на b» говорять також: «a кратно b», «число b - дільник числа a», «число b ділить a».
Позначають: a? b (b ділить a), a M b (a ділиться на b).
Відзначимо, що пропозиція «a ділиться на b» представляє собою деякий висловлювання про співвідношення між цими числами.
Зауваження: Поняття подільності відноситься тільки до цілих числах. Для раціональних чисел аналогічне поняття було б беззмістовним, так як для будь-яких двох раціональних чисел a і b, де b? 0, завжди існує раціональне число, що є їх приватним. Тому надалі, кажучи про подільність, під «числом» буде матися на увазі ціле число.
Розглянемо найпростіші властивості подільності. Для будь-яких цілих чисел a, b, c справедливі наступні теореми.
Теорема. Якщо і с - частка від ділення, то з - єдине.
Теорема.
Теорема. Якщо і, то.
Теорема. Якщо і, то або a=b, або a =-b.
Теорема. Якщо і, то а=0.
Теорема. Якщо і а? 0, то.
Теорема. Для того щоб необхідно і достатньо щоб.
Теорема. Якщо, то.
Теорема. Якщо сума чисел і до - 1 доданок цієї суми ділиться на деяке число с, то і к-ое дод...
