Виявлення повністю відомого (детермінованого) сигналу
Розглянемо задачу оптимального виявлення сигналу S (t). Точно відомо з щільністю ймовірностей P (s) за наявності адитивного гауссовского шуму, вхідний вплив:
.
Розподіл також нормальне і може бути отримано простий підстановкою у вираз для нормального розподілу шуму.
Будемо вважати мета точної і амплітуда сигналу на вході приймача відома. Якщо амплітуда невідома, то після прийому необхідно провести додаткову операцію усереднення отриманих результатів за всіма значеннями амплітуди з урахуванням їх ймовірностей.
Вважаємо, що амплітуда сигналу від моменту випромінювання до моменту прийому не змінюється і дорівнює. Відбитий сигнал запізнюється на час, тобто можна записати:. Цей сигнал існує на вході приймача протягом часу Т. Будемо вважати, що дальність до цілі відома. Тоді, знаючи функцію і, надавши їй деяке зрушення, можна утворити різницю, яка є чистим шумом за умови, що часовий зсув функції дорівнює відомому часу запізнювання.
Малюнок 1
Виберемо одне із значень прийнятого сигналу в довільний момент часу. . Різниця підпорядковується нормальному закону розподілу:
;
Зазвичай сигнал разом з шумом обмежений по смузі частот від 0 до. Тоді, відповідно до теорії відліків Котельникова, функція на інтервалі однозначно визначається своїми значеннями, які відраховуються через інтервали часу, і які є незалежними величинами. Застосуємо теорему множення ймовірностей для незалежних та спільних подій:
, отримаємо:
.
Переходячи від дискретного представлення до безперервного, і замінюючи суму інтегралом, отримаємо:
, де:
, і - функція правдоподібності.
Для знаходження відношення правдоподібності необхідно знайти, тобто умовну ймовірність сигналу у відсутності мети. Це можна отримати, підставляючи в отримане вираз, тобто
.
Знайдемо відношення правдоподібності:
;
У цьому виразі: - енергія вхідного сигналу,
- кореляційний інтеграл.
Отже:.
Для винесення рішення необхідно порівняти з порогом. Якщо:
- сигнал є, - сигналу немає.
З урахуванням того, що в загальному випадку між і може існувати тимчасової зрушення, розгорнуте вираження для кореляційного інтеграла має вигляд:
;
Таким чином, кореляційний інтеграл являє собою функцію взаємної кореляції між вхідним впливом і сформованим в місці прийому опорним сигналом, нормовану до спектральної щільності шумів. Видно, що максимізація відношення правдоподібності може бути зведена до максимізації кореляційного інтеграла.
Т.к.- Випадкова функція з нормальним законом розподілу, то теж нормально розподілена випадкова величина, яка характеризується математичним очікуванням і дисперсією за відсутності сигналу. Т.к. , То:
;
При прийомі сигналу:; .
Отже,.
При.
Дисперсія як за наявності, так і при відсутності сигналу, визначається тільки рівнем шумів. Тому для обох ситуацій вона однакова і дорівнює:.
За цими даними легко побудувати закони розподілу кореляційного інтеграла за відсутності і наявності сигналу, а по них знайти значення умовних ймовірностей і помилок вияв...
