Курсова робота
Групи матриць
Введення
Теорія груп має велику і змістовну історію. Виникла в зв'язку з теорією Галуа і для потреб цієї теорії, вона розвивалася спершу в якості теорії кінцевих груп підстановок (Коші, Жордан, Сілов).
Надалі робота в загальній теорії груп ставала все більш бурхливою і різнобічної і до теперішнього часу ця частина математики перетворилася на широку і багату змістом науку, що займає одне з перших місць у сучасній алгебрі. Зрозуміло, що цей розвиток загальної теорії груп не могло ігнорувати успіхи, вже досягнуті в теорії кінцевих груп. Навпаки, багато чого при цьому розвитку виникало з відповідних частин теорії кінцевих груп, причому керівним було прагнення замінити кінцівку групи тими природними обмеженнями, при яких дана теорема або дана теорія ще залишаються справедливими і за межами яких вони втрачають силу. Дуже часто, втім, питання, простий і остаточно вирішене у разі кінцевих груп, перетворювався на широко розвинену і далеку від завершення теорію; така, наприклад, теорія абелевих груп, одна з найважливіших частин сучасної теорії груп. Разом з тим, виникли і деякі нові відділи, істотно пов'язані з розглядом нескінченних груп - теорія вільних груп, теорія вільних творів. Нарешті, в деяких випадках - насамперед у питанні про завдання групи визначальними співвідношеннями - вперше вдалося досягти чіткості й строгості, недоступних теорії груп на попередньому етапі її розвитку.
Теорія груп далека ще від завершення. Численність стоять перед нею конкретних проблем, а також наявність напрямів, за якими робота почалася лише в самий останній час, дозволяють вважати, що загальна теорія груп ще не пройшла через вершину свого розвитку. Цілком своєчасно, проте, систематизувати вже накопичився багатий матеріал і цим дати широким колам математиків уявлення про основні напрямки сучасної теорії груп, про її методи, про її найбільших досягненнях і, нарешті, про що стоять перед нею чергові проблеми і про шляхи, по яких її необхідно найближчим часом розвивати.
Метою курсової роботи є вивчення наявної літератури за темою «Групи матриць», систематизація наявного матеріалу. Для досягнення даної мети були поставлені наступні завдання:
1. проаналізувати наукову, навчальну та методичну літературу з даної теми;
2. систематизувати теоретичні відомості з цієї теми.
1. Групи
1.1 Поняття групи та приклади
Одним з окремих випадків алгебр є групи, які відіграють велику роль в математиці і її додатках.
Алгебра G =(G, *,) типу (2,1) називається групою, якщо її головні операції задовольняють умовам (аксіомам):
(1) бінарна операція асоціативна, тобто для будь-яких елементів a, b, c з G a (b * c)=(a * b) * c;
(2) в G є правий нейтральний елемент щодо операції *, тобто такий елемент е, що a * e=a для всякого елемента а з G;
(3) для будь-якого елемента а з G a * a=e.
Таким чином, група - це непорожнє безліч з двома операціями на ньому - бінарної операцією * і унарною операцією, причому бінарна операці...
