я асоціативна і володіє правим нейтральним елементом, а унарна операція є операція переходу до правого симетричному елементу щодо бінарної операції і, значить , кожен елемент групи має правий симетричний йому елемент щодо бінарної операції групи *.
Група G =(G, *,) називається абелевої або комутативної, якщо бінарна операція групи * коммутативна, тобто для будь-яких a, b з G a * b=ba
Порядком групи G =(G,,) називається число елементів основного безлічі G групи, якщо G звичайно. Якщо G - нескінченна безліч, то групу G називають групою нескінченного порядку.
Алгебра G =(G,, - 1) типу (2,1) називається групою, якщо її головні операції задовольняють умовам:
(1) бінарна операція асоціативна, тобто для будь-яких елементів a, b, c з G вірно рівність a (bc)=(ab) c;
(2) в G має права одиниця, тобто такий елемент e, що ae=a для всякого елемента a з G;
(3) для будь-якого елемента a з G виконується рівність aa - 1=e.
Поняття натуральної ступеня an елемента a мультипликативной групи (G,, - 1) визначається наступним чином:
a 0=e, a n=aa ... a для nN {0}.
При адитивної записи бінарну операцію групи називають складанням і пишуть a + b замість ab називаючи елемент a + b сумою елементів a і b. Елемент, симетричний елементу a, позначають (-a) і називають протилежним елементу a. Нейтральний елемент щодо додавання позначають символом 0 або 0 G і називають нульовим елементом або нулем групи. При адитивної записи визначення групи формулюється таким чином.
Алгебра G =(G, +,) типу (2,1) називається групою, якщо її головні операції задовольняють умовам:
(1) бінарна операція + асоціативна, тобто для будь-яких елементів a, b, c з G маємо a + (b + c)=(a + b) + c;
(2) в G є правий нуль, тобто такий елемент 0, що a +0=a для всякого елемента a з G;
(3) для будь-якого елемента a з G a + (-a)=0.
Властивості групи.
Нижче використовується мультиплікативна форма запису операцій групи.
. Для будь-якого елементу a групи a - 1 a=e тобто правий зворотний до a елемент є також лівим зворотним.
. Для кожного елемента a групи елемент a - 1 є єдиним зворотним елементом. Кожен елемент a групи має єдиний правий і єдиний лівий зворотний елемент, причому обидва вони збігаються з a - 1
. Для будь-якого елементу a групи ea=a, тобто права одиниця є також і лівої одиницею.
. Елемент е групи є єдиним одиничним елементом групи. Він же є єдиним лівим і єдиним правим одиничним елементом групи.
. Для будь-яких елементів a, b групи кожне з рівнянь ax=b, і ya=b відносно змінних x і y має в групі єдине рішення.
(закон скорочення). Для будь-яких елементів a, b, c групи з ac=bc слід a=b і з ca=cb слід a=b.
. Для будь-яких елементів a, b, c групи з ab=a слід b=e і з ca=a слід c=e.
. У групі елемент a є зворотний до a - 1, тобто (a - 1) - 1=a.
. Для будь-яких елементів a, b групи з ab=e випливає, що b=a - 1 і a=b - 1
Ця властивість безпосередньо випливає з визначення зворотного елемента і властивості - 2.
Приклади груп.
. Нехай Q - безліч всіх раціональних чисел із звичайним складанням н унарною операцією - операцією переходу від числа a до протилежного числу (-a). Алгебра Q =(Q, +, -) типу (2, 1) є групою. Вона називається адитивною групою раціональних чисел.
. ...
