Аналіз сигналів на основі елементарних багатоекстремального функцій
Більшість реально протікаючих процесів, що носять періодичний характер, по природі своїй не є Полігармонічні. Тому що застосовується в таких випадках розкладання в тригонометричні ряди є, до певної міри, штучним, погано відображає фізичну суть описуваного явища. Тут пропонується проводити розкладання сигналу на складові, в деякому сенсі більш адекватні досліджуваним об'єктах.
Елементарні багатоекстремального функції
В основі запропонованого апарату лежать базові функції [1], що є як функції парними, нескінченно диференційовними, невід'ємними, приналежними простору і такими, що:, при для логарифмічною похідною базової функції рівняння вирішуваний в елементарних функціях, причому мається лише два кореня де g (x) - функція, обернена функції. Прикладами функцій з можуть служити і.
До класу елементарних багатоекстремального функцій (ЕМЕФ) [2] віднесемо функції наступних двох типів:
(1)
(2)
де, а - константа, визначувана параметром, яку пропонується задавати як
. (3)
Зокрема, для,, де - одна з відомих [3] еліптичних тета-функцій.
Шляхом деяких перетворень можна для ЕМЕФ отримати інші вирази:
,,
,.
На малюнках 1 і 2 представлені графіки функцій обох типів і для, на інтервалі при і відповідно.
Розглянемо деякі властивості цих функцій. Перш за все, очевидно, що для будь-якої функції відповідні ряди (1) - (3) - рівномірно збіжні, тобто дійсно визначають деякі функції. Далі ясно, що вони мають період 2? , і. Очевидно, що і мають ті ж екстремуми і нулі, що і відповідно функції і.
Для ЕМЕФ неважко отримати ряди Фур'є:
(4)
(5)
де - перетворення Фур'є функції. Зокрема, для це, а для -.
З (4) отримаємо
Розглянемо асимптотику відносини, при. Відомо [4], що для функцій монотонно прагнуть до нуля при має місце
Якщо ж, то буде:.
Отже, для будь-який, для
Тому матимемо:
Аналогічно:
Таким чином, обидва види ЕМЕФ, індукованих класом, мають по єдиною граничної (щодо межі) точці - відповідно і. Цей факт можна розглядати як ще одне екстремальне властивість тригонометричних функцій.
Інтегральне перетворення на основі ЕМЕФ
Розглянемо комплекснозначною функцію
. (6)
Поруч Фур'є для неї, згідно (4) і (5), буде
.
Так як функції і є граничними по параметру (при) відповідно для функцій і, то очевидно
(7)
Нехай тепер - деяка функція, розкладається в сходитися ряд Фур'є. Введемо інтегральне перетворення з ядром:
(8)
Неважко встановити зв'язок цього перетворення функції з її перетворенням Фур'є:
(9)
Перетворення (9) не є взаімообратних.
Дійсно, розглянемо перетворення
. (10)
Покладемо в (10), де.
Тоді
,
т.е..
Для парних функцій розглядається перетворення (пряме і зворотне) буде мати вигляд
Надалі введене вище перетворення будемо називати ЕМЕФ-перетворенням.
Порівняльний аналіз ЕМЕФ-перетворення і перетворення Фур'є
Розглянемо можливості ЕМЕФ-перетворення і перетворення Фур'є при виділенні слабкого періодичного, але негармоніческого сигналу на фоні сильної перешкоди при малому числі відліків на досліджуваному інтервалі часу.
По-перше, наведемо результати обох перетворень для парних функцій і, де - одна з базових функцій. Для маємо: перетворення Фур'є
, (11)
і ЕМЕФ-перетворення з ядром
. (12)
Для ЕМЕФ відповідні перетворення дають:
, (13)
(14)
Проілюструвати якісно змістовний сенс співвідношень (11) - (14) можна за допомогою нижче наступних малюнків. На рис 3 (а) і (б) представлені відповідно результати перетворення Фур'є і ЕМЕФ-перетворення для суми двох косинусів.
Нарешті, перейдемо до порівняння результатів числового аналізу амплітудного спектра. Такими результатами будемо вважати періодограми, отримані на основі дискретного перетворення Фур'є (ДПФ) і дискретного варіанта ЕМЕФ-перетворення (ЕФДП) виду
, (15)
де
Розглянемо два приклади аналізу суми двох близьких за частотою сигналів, один з яких вважаємо потужною низькочастотної перешкодою. В основі прикладу лежить відомий [5] варіа...
