Введення
В даний час різко зріс інтерес до мов високого рівня завдяки можливості використання в наукових дослідженнях, в техніці та економіці обчислювальних машин, що виконують побудову деяких величин в точній відповідності з зазначеним алгоритмом. Ця можливість приваблива з тієї причини, що явища і процеси, які вивчаються в рамках згаданих досліджень, часто вдається описати за допомогою понять математики - функцій, систем рівнянь, нерівностей - і для отримання конкретних відомостей про досліджуваних явищах і процесах треба провести деякі дії над математичними об'єктами. Людині досить описати алгоритм необхідних перетворень і обчислень, а самі дії (як правило, настільки великі і громіздкі, що їх неможливо виконати вручну) виконає обчислювальна машина.
Правила запису алгоритму для виконання його обчислювальною машиною виявляються дуже жорсткими - автомат не може нічого додумувати за людину. Сукупність засобів і правил подання алгоритму у вигляді, придатному для виконання обчислювальною машиною, називається мовою програмування, а кожен алгоритм, записаний на деякій мові програмування, називається програмою. Для зручності складання програм пропонуються різні мови програмування.
Завдання на курсову роботу: розробити додаток для обчислення інтеграла від заданої функції в заданих межах за формулою Сімпсона, прямокутників, трапецій.
1.Краткая опис предметної області
Для наближеного обчислення певного інтеграла
розбивається відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин точками
Значення функції y=f (x) в точках розбиття xi позначений через yi. Безперервна подинтегральная функція y=f (x) замінюється сплайном - кусочно-поліноміальної функцією S (x), що апроксимує дану функцію.
Інтегруючи функцію S (x) на відрізку [a, b], виходить деяка формула чисельного інтегрування (квадратурная формула).
Залежно від функції, апроксимуючої подинтегральную функцію, виходять різні квадратурні формули.
Якщо на кожній частині [xi - 1, xi] (i=1, n) ділення відрізка [a, b] функцію y=f (x) замінити функцією, приймаючої постійне значення, рівне, наприклад , значенню функції y=f (x) в серединній точці i-ї частини
то функція матиме ступінчастий вигляд:
в цьому випадку:
і виходить квадратурну формулу прямокутників:
Якщо функцію y=f (x) на кожному відрізку [xi - 1, xi] замінити її лінійною інтерполяцією по точках (xi - 1, yi - 1) і (xi, yi), то вийде безперервна кусочно-лінійна функція
,
Графіком цієї функції є ламана лінія.
У цьому випадку:
в підсумку отримана квадратурная формула трапецій:
Можна отримати квадратурну формулу Сімпсона, звану також формулою парабол, якщо сплайн S (x), аппроксимирующий подинтегральную функцію y=f (x), являє собою безперервну функцію, складену з примикають парабол. На відрізку [xi - 1, xi] парабола проходить через точки (xi - 1, yi - 1), (xi - 1/2, yi - 1/2), (xi, yi). Використовуючи побудова інтерполяційного многочлена Лагранжа другого порядку на відрізку [xi - 1, xi], отримаємо сплайн:
Для подальших перетворень вводиться змінна t € [0,1] за допомогою рівності x=xi - 1 + h * t. Висловлюють сплайн через нову змінну:
Враховуючи, що
У результаті отримана квадратурная формула парабол (або формула Сімпсона):
яка при інтегруванні статечної функції, ступінь якої не вище трьох, квадратурная формула Сімпсона дає точний результат.
2.Опісаніе послідовності дій програми при обчисленні інтеграла від заданої функції в заданих межах за формулами Сімпсона, прямокутників і трапецій
. Вводимо функцію, як вона є, дотримуючись правил розстановки знаків і дужок.
. Вводимо нижня межа.
. Вводимо верхню межу.
. Вводимо кількість відрізків для розбиття.
. Вибираємо метод для обчислення інтеграла
За формулою Сімпсона
За формулою прямокутників
. За формулою трапецій
. Натискаємо кнопку обчислити.
. Перевіряється обраний спосіб, залежно від вибору розраховується інтеграл по в...
