stify"> Доведіть, що якщо точки перетину медіан трикутників ABC і А 1 В 1 С 1 збігаються, то прямі АА 1, ВВ 1 і СС 1 паралельні деякій площині.
Завдання №6.
Ребро куба АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 одно. Знайдіть:
а) відстань від вершини С до площини BDC 1;
б) кут між діагоналлю грані і площиною
Завдання №7.
Знайдіть відстань між перехресними діагоналями АВ 1 і НД 1 суміжних граней АА 1 ВВ 1 і ВВ 1 СС 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, якщо ребро цього куба дорівнює 6.
Заданіе№8.
У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 зі стороною a точка K є серединою боку верхнього підстави B 1 C 1, точка L ділить іншу сторону C 1 D 1 цього підстави у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини С 1, точка N є серединою бічного ребра АА 1. Знайдіть площу перерізу, який струменіє через точки K, L, N.
Заданіе№9.
У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, всі ребра якої рівні 1, знайдіть косинус кута між прямими AB і CA 1.
Завдання №10.
У правильної прямокутної призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1, знайдіть квадрат косинуса кута між прямими АВ і А 1 С.
Варіант 2
Завдання №1.
Дано координати вершин піраміди А 1 А 2 А 3 А 4: 1 (1; 8; 2), A 2 (5; 2; 6), A 3 (0; - 1; - 2 ), A 4 (- 2; 3; - 1). Знайти:
) довжину ребра А 1 А 2;
) кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4;
) кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3;
) площа грані А 1 А 2 А 3;
) об'єм піраміди.
Завдання №2.
Діагональ підстави правильної чотирикутної призми дорівнює 5, а діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 60 °. Знайдіть площу перерізу призи, що проходить через сторону нижньої основи і протилежну сторону верхнього підстави.
Завдання №3.
Дано координати вершин паралелепіпеда: A (1; 8; 2), В (5; 2; 6), С (0; - 1; - 2), D (- 2; 3; -1). Знайти об'єм паралелепіпеда, його висоту, опущену з вершини С, кут між вектором AD і гранню, в якій лежать вектори АВ і АС.
Завдання №4.
Перевірити, чи лежать в одній площині точки А (4; 4; 2), В (3; - 3; 4), С (2; 3; - 3), D (3; -4; 5). Знайти лінійну залежність вектора, якщо це можливо.
Завдання №5.
На двох перехресних прямих відзначені по три точки: A 1, A 2, A 3 і B 1, B 2, B 3, причому A 1 A 2=k? A 1 A 3, В 1 В2=k? В 1 В 3. Доведіть, що прямі А 1 В 1, А 2 В 2, A 3 B 3 паралельні деякій площині.
Заданіе№6.
У кубі, ребро якого дорівнює, знайдіть:
а) відстань від вершини до площини
б) кут між діагоналлю грані і площиною
Завдання №7.
Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з довжиною ребра AB =. Знайдіть відстань між перехресними діагоналями AC і А 1 В суміжних граней ABCD і AA 1 B 1 B.
Завдання №8.
У правильній трикутній піраміді SАВС з вершиною S висота дорівнює 3, а бічні ребра рівні 6. Знайдіть площу перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через середини сторін АВ і АС паралельно прямий SА.
Завдання №9.
У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1, всі ребра якої рівні 1, точка D середина ребра A 1 B 1. Знайдіть косинус кута між прямими AD і BC 1.
Завдання №10.
У правильної чотирикутної піраміді SABCD з вершиною S висота дорівнює діагоналі підстави. Точка F лежить на середині ребра SВ. Знайдіть квадрат тангенса між прямими SD і АF.
Варіант №3
Заданіе№1.
Дано координати вершин піраміди А 1 А 2 А 3 А 4:
А 1 (4; 3; 4), А 2 (5; 5; 3), А 3 (6; 8; 0), А 4 (4; 5; 8). Знайти:
) Довжину ребра А 1 А 2;
) Кут між ребрами А 1 А 2 і А 1 А 4;
) Кут між ребром А 1 А 4 і гранню А 1 А 2 А 3;
) Площа грані А 1 А 2 А 3;
) Обсяг піраміди.
Заданіе№2.
У підставі трикутної піраміди SABC лежить прямокутний трикутник АВС. Середина D гіпотенузи цього трикутника є підставою висоти SD даної піраміди. Відомо, що SD=2, AC=4, BC=3. Через середину висоти SD проведено розтин піраміди площиною, паралельною ребрам AC і SB. Знайти площу цього перерізу.
