о знак визначника форми (тобто визначника її матриці) не змінюється.
Після перетворення виходить квадратична форма з матрицею, проте, зважаючи,, тобто визначник множиться на позитивне число.
Нехай дана квадратична форма
.
Її можна записати у вигляді
(29)
де буде квадратичною формою від невідомих, складеної з тих членів форми, в які не входить невідоме. Головні мінори форми збігаються, очевидно, з усіма, крім останнього, головними минорами форми. p> Нехай форма позитивно певна. Форма також буде позитивно певної: якби існували такі значення невідомих, не всі рівні нулю, при яких форма отримує не строго позитивне значення, то вважаючи додатково, то вийшло б (29), також не строго позитивне значення форми, хоча не всі значення невідомих , дорівнюють нулю. Тому, з індуктивного пропозицією, всі головні мінори форми, крім останнього, суворо позитивні. Що ж до останнього головного мінору форми, тобто визначника самої матриці, то його позитивність випливає з таких міркувань: форма, яка позитивно визначена з лінійним невиродженим преобразів аніем приводиться до нормального вигляду, що складається з позитивних квадратів. Визначник цього нормального вигляду суворо позитивний, а тому зважаючи зробленого вище зауваження позитивний і визначник самої форми. p> Нехай тепер строго позитивні головні мінори форми. Звідси випливає позитивність всіх головних мінорів, тобто, по індуктивному, припущенням, позитивна визначеність цієї форми. Отже, існує, таке невироджене лінійне перетворення невідомих, яке призводить форму до виду суми позитивних квадратів від нових невідомих, то лінійне перетворення можна доповнити до невиродженого лінійного перетворення всіх невідомих, вважаючи. Зважаючи (29) форма наводиться до зазначених перетворенням до вигляду:
; (30)
точні вирази коефіцієнтів несуттєві. Так як, то невироджене лінійне перетворення призводить форму до канонічного вигляду
. (31)
Для доказу позитивної визначеності форми необхідно довести позитивність числа. Визначник форми, що стоїть в правій частині рівності (31), дорівнює. Цей визначник повинен бути позитивним, оскільки права частина рівності (31) отримана з форми двома невиродженими лінійними перетвореннями, а визначник форми був останній з головних мінорів цієї форми, позитивним. Теорема доведена. br/>
Приклад 2. Чи є квадратична форма позитивно певної? br/>
Рішення
.
.
Квадратична форма є позитивно визначеною, так як всі її головні мінори позитивні. br/>
Приклад 3. Чи є квадратична форма позитивно певної? br/>
Рішення
.
.
Квадратична форма не є позитивно певної, так як її головний мінор від'ємний.
В§ 4.Прімери вирішення завдань квадратичних форм
Задача № 1. Написати матрицю квадратичної форми. br/>
Рішення
Тут
Отже:
...
