х лінійних форм. Теорема доведена. p> В§ 3. Позитивно певні форми
Квадратична форма від невідомих з дійсними коефіцієнтами називається позитивно визначеною, якщо вона приводиться до нормального вигляду, що складається з позитивних квадратів, тобто якщо і ранг, і позитивний індекс інерції цієї форми рівні числу невідомих.
Теорема. Квадратична форма від невідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді буде позитивно певної, якщо при всяких дійсних значеннях цих невідомих, хоча б одне з яких відмінне від нуля, ця форма отримує позитивні значення. p> Доказ. Нехай форма позитивно певна, тобто приводиться до нормального вигляду
, (27)
причому
, (28)
з відмінним від нуля визначником з дійсних коефіцієнтів. Якщо підставити в довільні дійсні значення невідомих, хоча б одне з яких відмінне від нуля, то можна підставити їх спочатку в (28), а потім значення отримані, для всіх, - у (27). Значення, отримані для з (28), не можуть всі відразу дорівнювати нулю, бо інакше вийшло б, що система лінійних однорідних рівнянь має ненульовим рішенням, хоча її визначник відмінний від нуля. Підставляючи знайдені для значення в (27), вийдуть значення форми, рівне сумі квадратів дійсних чисел, які не всі рівні нулю; це значення буде суворо позитивним. p> Зворотно, нехай форма не є позитивно певної, тобто або ранг, або позитивний індекс інерції менше. Це означає, що в нормальному вигляді цієї форми, до якого вона приводиться, невиродженим лінійним перетворенням (28), квадрат хоча б одного з нових невідомих, наприклад, або відсутній зовсім, або ж міститься зі знаком мінус. У цьому випадку можна підібрати такі дійсні значення для невідомих, які не всі рівні нулю, що значення форми при цих значеннях невідомих дорівнює нулю або навіть негативно. Такими будуть, наприклад, ті значення для, які ми отримаємо, вирішуючи за правилом Крамера систему лінійних рівнянь, які утворюються з (28) при Дійсно, при цих значеннях невідомих форма дорівнює нулю, якщо не входить в нормальний вигляд цієї форми, і дорівнює -1 , якщо входить в нормальний вигляд зі знаком мінус.
Нехай дана квадратична форма від невідомих з матрицею. Мінори порядку цієї матриці, розташовані в її лівому кутку, тобто мінори
,
з яких останній збігається з визначником матриці, називаються головними минорами форми.
Теорема. Квадратична форма від невідомих з дійсними коефіцієнтами тоді і тільки тоді буде позитивно певної, якщо всі головні мінори суворо позитивні. p> Доказ. При теорема вірна, так як форма має в цьому випадку вид і тому вона позитивно певна тоді і тільки тоді, коли. Тому необхідно доводити теорему для випадку невідомих, припускаючи, що для квадратичних форм від невідомих вона вже доведена. p> Зробимо спочатку наступне зауваження:
Якщо квадратична форма з дійсними коефіцієнтами, складовими матрицю, піддається невироджені лінійному перетворенню з дійсною матрицею, т...
