с-тичної функцією pu.
Аксіоми Шеплі.
1о. Аксіома ефективності. Якщо S - будь-який носій гри з характеристичною функцією u, то
= u (S)
Іншими словами, "справедливість вимагає ", що при поділі загального виграшу носія гри нічого не виділяти на частку сторонніх, які не належать цього носія, так само як і нічого не стягувати з них.
2о. Аксіома симетрії. Для будь перестановки p і iГЋN повинно виконуватися
(pu) = ji (u),
тобто гравці, однаково входять у гру, повинні "по справедливості " отримувати однакові виграші.
3О. Аксіома агрегації. Якщо є дві гри з характеристичними функціями u Вў і u Вў Вў, то
ji (u Вў + u Вў Вў) = ji (u Вў) + ji (u Вў Вў),
тобто заради "справедливості" необхідно вважати, що за участю гравців у двох іграх їх виграші в окремих іграх повинні складатися.
Визначення. Вектором цін (вектором Шеплі) гри з характеристичною функцією u називається n-мірний вектор
j (u) = (j1 (u), j2 (u), ..., jn (u)),
задовольняє аксіомам Шеплі.
Існування вектора Шеплі випливає з наступної теореми
Теорема. Існує єдина функція j, визначена для всіх ігор і яка задовольнить аксіомам Шеплі.
Визначення. Характеристична функція wS (T), визначена для будь-якої коаліції S, називається найпростішої, якщо
wS (T) = p> Змістовно найпростіша характеристична функція описує такий стан справ, при якому безліч гравців S виграє одиницю тоді і тільки тоді, коли воно містить деяку основну мінімальну що виграє коаліцію S.
Можна довести, що компоненти вектора Шеплі в явному вигляді зап ішут наступним чином
де t - число елементів у T.
Вектор Шеплі змістовно можна інтерпретувати в такий спосіб: гранична величина, яку вносить i-й гравець в коаліцію T, виражається як
u (T) - u (T {i})
і вважається виграшем i-го гравця; gi (T) - це ймовірність того, що i-й гравець вступить до коаліції T {i}; ji (u) - середній виграш i-го гравця у такій схемі інтерпретації. У тому випадку, коли u - найпростіша,
Отже
,
де підсумовування по T поширюється на всі такі виграють коаліції T, що коаліція T {i} співпадіння є вигравати.
Приклад. Розглядається корпорація з чотирьох акціонерів, які мають акції відповідно у таких розмірах
a1 = 10, a2 = 20, a3 = 30, a4 = 40. p> Будь-яке рішення затверджується акціонерами, мають у сумі більшість акцій. Це рішення вважається виграшем, рівним 1. Тому дана ситуація може розглядатися як проста гра чотирьох гравців, в якій виграють коаліціями є наступні:
{2; 4}, {3; 4},
{1, 2, 3}, {1; 2; 4}, {2, 3, 4}, {1; 3; 4},
{1, 2, 3, 4}.
Знайдемо вектор Шеплі для цієї гри.
При знаходженні j1 необхідно враховувати, що є тільки одна коаліція T = {1, 2, 3}, яка виграє, а коаліція T {1} = {2; 3} співпадіння виграє. У коаліції T мається t = 3 гравці, тому
.
...
