( Oy ) Q 2 - відкриті в f < sup> -1 ( Oy ) множини. Так як
ГЊ Х f -1 ( Oy ),
то G 1 ∩ G 2 = Г†. Тоді f -1 ( Oy ) = G 1 G 2 . Отже, трубка f -1 ( Oy ) незв'язна. p> Нехай U ГЌ Oy - довільна околиця точки y . Тоді й - діз'юнктние безлічі, відкриті в f -1 ( U ), і непусті, тому що Про 1 ГЊ і Про 2 ГЊ. Отже, для будь-якої округа U ГЌ Oy трубка f -1 ( U ) незв'язна. Відображення f недоладно над точкою y за визначенням. p> Якщо відображення f замкнуте над кожною точкою y ГЋ Y і кожен його шар незв'язні, тоді, для довільної точки y , відображення f буде незв'язним над нею, отже, і над кожною точкою y ГЋ Y. ?
З установленого пропозиції автоматично випливає
Слідство 2.2. Нехай відображення f : X в†’ Y замкнуто над точкою y ГЋ Y і зв'язно над точкою y. Тоді шар f -1 ( y ) є зв'язковим безліччю. Зокрема, якщо f замкнуте і зв'язне відображення, то воно пошарово зв'язне.
Пропозиція 2.5. Нехай відображення f : X в†’ Y замкнуте і пошарово зв'язне. Тоді воно зв'язне.
Доказ. Візьмемо довільну точку y ГЋ Y і припустимо, що відображення f недоладно над точкою y . Тоді існує така околиця Oy точки y , що трубка f -1 ( U ) є незв'язною над кожною околицею U ГЌ Oy точки y . Зафіксуємо деяку таку зв'язну околиця U , для якої виконуються наступні умови:
f -1 ( U ) = Про 1 Про 2 , Про 1 ∩ Про 2 = Г†,
де Про 1 і Про 2 - непорожні відкриті в f -1 ( U ) множини.
Шар f -1 ( y ) зв'язний і f -1 ( y ) ГЊ f -1 ( U ), звідси, < i> f -1 ( y ) міститься або в Про 1 , або в Про 2 (по теоремі 1.4). Розглянемо довільну точку х 1 ГЋ Про 1 . Образ цієї точки f ( x 1 ) = y 1 ГЊ U . За умовою, шар f -1
