= f - 1 ( y ), таку що
O = O ' f -1 ( T ),
де Про Вў - відкрите в Х безліч. Так як відображення f замкнутий над точкою y , знайдеться така околиця O ' y в Y точки y , що f - 1 ( O ' y ) ГЊ О '. Тоді в Т існує така околиця Oy точки y , що Oy = Oy ' T , і f -1 ( T ) = Про . Отже, відображення g буде замкнуто над y ГЋ Y .
Якщо відображення f замкнуте над кожною точкою y , то і відображення g буде замкнутим над кожною точкою y . ? p> Встановимо тепер зв'язок між зв'язковими і пошарово зв'язковими замкнутими відображеннями. p> Пропозиція 2.4. Нехай відображення f : X в†’ Y < i> замкнуто над точкою y ГЋ Y і шар f -1 ( y ) є незв'язним безліччю. Тоді відображення f недоладне над точкою y. Зокрема, якщо відображення f замкнуто і кожен його шар незв'язний, то воно недоладне над кожною точкою y ГЋ Y .
Доказ. Оскільки шар f -1 ( y ) є незв'язним безліччю, то знайдуться такі непусті відкриті в f -1 ( y ) безлічі Про 1 і < i> Про 2 , що Про 1 ∩ Про 2 = Г† і Про 1 Про 2 = f -1 (< i> y ). Тоді в Х існують відкриті множини Q 1 і Q 2 такі, що
O 1 = Q 1 f -1 ( y ), O 2 = Q 2 f -1 ( y ).
Розглянемо замикання цих множин таВ в Х . Їх перетин є замкнутий безліч, і F f -1 ( y ) = Г† ( т.к. Про 1 і Про 2 замкнуті в f -1 ( y ), як доповнення до відкритих). Безліч Про = ( Q 1 Q 2 ) F відкрито в Х , причому f -1 ( y ) ГЊ Про . Для цієї околиці Про (в силу замкнутості відображення f ) знайдеться така околиця Oy точки y , що f -1 ( Oy ) ГЊ Про . Нехай G 1 = f -1 ( Oy ) ; Q 1 і G 2 = f < sup> -1 ...
