up> ( y 1 ) зв'язний і f -1 ( y 1 ) ГЊ Про 1 Про 2 = f -1 ( U ). Оскільки Про 1 ∩ Про 2 = Г† і х 1 ГЋ Про 1 , отже (по теоремі 1.4), f -1 ( y 1 ) ГЊ Про 1 . (Іншими словами, якщо одна точка шару належить безлічі Про 1 , то й весь шар належить цій безлічі.)
Звідси, так як точка х 1 довільна, то Аналогічно доводиться, що
Відображення f замкнутий, тоді, по теоремі 2.3, подотображеніе g = f : f -1 ( Oy ) В® Oy також замкнутий. Таким чином, безлічі f ( O 1 ) = g ( O 1 ) і f ( O 2 ) = g ; ( O 2 ) будуть непересічними відкрито-замкнутими в U і U = f ( O 1 ) f ( O 2 ), тобто околиця U незв'язна. Це суперечить вибору округа U . ? p> Для замкнутих відображень підсумкову взаємозв'язок між пошаровим зв'язністю і зв'язністю тепер можна виразити в формі наступної теореми:
Теорема 2.3. Замкнутий відображення f : X в†’ Y зв'язно тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язно.
(Витікає з слідства 2.1 і пропозиції 2.5). p> З останньої теореми та пропозицій 2.2 - 2.3 виходять такі наслідки:
Слідство 2.3. Нехай відображення f : X в†’ Y замкнутий, Z ГЌ X замкнуто у Х. Подотображеніе g = f | Z : Z В® Y є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язне.
Слідство 2.4. Нехай відображення f : X в†’ Y замкнутий, T ГЌ Y довільна безліч. Подотображеніе g = f | : f -1 ( T ) В® T є зв'язковим тоді і тільки тоді, коли воно пошарово зв'язне.
Розглянуті тут властивості будуть використані в наступних пунктах в якості основи для побудови прикладів зв'язкових і незв'язних відображень.
2.3. Зв'язок між зв'язністю просторів
і відображень
Нехай простір Y = {*} - Одноточечное. У цьому випадку відображення f : X в†’ Y безперервно і є зв'язковим (незв'язним) тоді і тільки тоді, коли простір Х зв'язно (недоладно), тому що трубки і шари над простором Y збігаються з усім простором Х .
Цей факт дозволяє будувати численні приклади зв'язкових і не...
