е. F = k х, де k - коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила F = 100 Н розтягує пружину на х = 0,01 м; отже, 100 = k 0,01, звідки k = 10000; отже, F = 10000 х.
Шукана робота на підставі формули A =
дорівнює
A =
Приклад. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідину з вертикального циліндричного резервуара висоти Н м і радіусом підстави R м (рис 13). [5]
Рішення : Робота, що витрачається на підняття тіла вагою р на висоту h, дорівнює р • Н. Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуара) різних шарів не однакова.
Для вирішення поставленого завдання застосуємо схему II (метод диференціала). Введемо систему координат. p> 1. Робота, витрачається на викачування з резервуара шару рідини товщиною х (0 ≤ х ≤ Н), є функція від х, т. е. А = А (х), де (0 ≤ х ≤ Н) ( A (0) = 0, A (H) = А 0 ).
2. Знаходимо головну частину прирощення О”A при зміні х на величину О”х = dx, т. е. знаходимо диференціал d А функції А (х).
Зважаючи малості d х вважаємо, що "елементарний" шар рідини знаходиться на одній глибині х (від краю резервуара). Тоді d А = d рх, де d р - вага цього шару; він дорівнює g АV, де g - прискорення свободногопаденія, - щільність рідини, dv - обсяг "елементарного" шару рідини (На малюнку він виділений), тобто d р = g . Обсяг зазначеного шару рідини, очевидно, дорівнює, де dx-висота циліндра (шару), - площа його заснування, тобто dv =В .
Таким чином, d р = . і
3) Інтегруючи отримане рівність в межах від х = 0 до х = Н, знаходимо
A
В
3. 3 .2 Шлях, пройдений тілом
Нехай матеріальна точка переміщується по прямій з змінною швидкістю v = v ( t ). Знайдемо шлях S, пройдений нею за проміжок часу від t до t 2.
Рішення : З фізичного змісту похідної відомо, що при русі точки в одному напрямку "швидкість прямолінійного руху
дорівнює похідної від шляху за часом ", тобто v (t) =. Звідси випливає, що dS = v ( t ) dt . Інтегруючи отримане рівність в межах від t до t ,
отримуємо S =
Приклад. Знайти шлях, пройдений тілом за 4 секунди від початку руху, якщо швидкість тіла v (t) = 10 t + 2 (м/с). [5 ]
Рішення : Якщо v (t) = 10t + 2 (м/с)...
