авдання
Графік та лінії рівня заданої функції представлені на малюнках:
В
Рис.7.1
Функція визначена при:
В
якщо умови не виконуються, то програма припиняє свою роботу. Даною умова здійснено за рахунок перевірки знака визначника матриці Гессе. p> При знаходженні мінімуму доцільно брати точки недалекі від значення мінімуму функції. Як видно з малюнка 7.1, різко зростає точки повинні бути близькими до інакше функція різко збільшує кількість ітерацій для, необхідних для знаходження мінімуму, через безперервне збільшення ступеня яружно, при відхиленні від точки (рис 7.2). p> Результат роботи програми:
В
Рис. 4.3
- початкова точка
Програма знайшла мінімум початкової функції за 2 ітерації.
Значення функції 1.90263 1.903.
Виконаємо перевірку за допомогою пакету Mathcad 14:
В
8. Зведення задачі умовної оптимізації до безумовної задачі оптимізації. br/>
.1 Метод зовнішніх штрафних функцій
Постановка завдання:
Потрібно знайти рішення задачі:
В
Теоретичні відомості:
Задача умовної оптимізації:
В В
Цей метод заснований на зведенні до послідовності завдань, мінімізації додаткової функції:
В
- штрафна функція, що залежить від двох параметрів,
- параметр штрафу.
З ростом номера k, штраф за невиконання обмежень збільшується
В
Штрафна функція записується у вигляді:
В
- квадрат зрізання (для обмежень типу нерівностей).
- квадратична функція.
В
На кожній k-ої ітерації шукається точка - точка мінімуму допоміжної функції.
Знайдена точка використовується як початкова точка на наступній ітерації, виконуваної при більшому значенні параметра штрафу.
Теорема 8.2.1 (про збіжність методу штрафних функцій)
Нехай - точка локального мінімуму завдання умовної мінімізації
- безупинні, диференційовані функції в околиці точки.
Тоді послідовність точок, отриманих на кожній ітерації, сходиться до точки умовного мінімуму.
Алгоритм методу
Крок № 1
Здається початкове наближення, початковий штраф, його зазвичай беруть рівним {0,01; 0,1; 1}.
Здається деяка константа Щоб збільшити.
Здається точність.
Крок № 2
Знаходимо точку мінімуму функції, розробленим методом багатовимірної мінімізації, в нашому випадку методом Девідона-Флетчера-Пауелла.
Обчислюємо величину штрафу, що є критерій зупинки пошуку умовного мінімуму.
Крок № 3
Перевірка умови закінчення пошуку:
а) якщо, то в якості оптимальної точки вибираємо.
б) інакше і в якості нового наближення вибирається початкова точка в безумовної мінімізації:
, k = k +1 =>...
