ТІВ множини ставити у відповідність єдиний елемент цієї множини.
Операції позначають значками або.
Означення. Операцію на множіні назівають комутатівною, ЯКЩО для будь-яких ЕЛЕМЕНТІВ справджується Рівність:
.
Означення. Операцію на множіні назівають асоціатівною, ЯКЩО для будь-яких ЕЛЕМЕНТІВ справджується Рівність:
.
Означення. Операцію на множіні назівають Дистрибутивних відносно Операції, ЯКЩО для будь-яких ЕЛЕМЕНТІВ справджуються рівності:
;
.
Означення. Если в множіні Визначи Операція, то елемент такий, что для будь-якого з множини віконується Рівність
,
назівається нейтральним.
Означення. Если в множіні Із операцією існує нейтральний елемент, то елемент такий, что
,
назівається симетричним до елемента
Теорема 1. Если у множіні Із визначеня на ній операцією існує нейтральний елемент то ВІН єдиний.
теорії?? А 2. Если Операція на множіні є асоціатівною, то для будь-якого елемента множини існує НЕ больше як один симетричний елемент.
2. Поняття групи, підгрупі
Означення. Чи не порожню множини Із визначеня на ній операцією назівають Груп, ЯКЩО віконуються наступні умови:
) Операція є асоціатівною на множіні;
) у множіні існує нейтральний елемент відносно Операції;
) для будь-якого елемента множини існує симетричний елемент.
Умови 1-3 назівають аксіомамі групи.
Надалі групу Із визначеня на ній операцією будемо позначаті так:.
Если в групі Операція є комутатівною, то групу назівають комутатівною або абельовою.
Если в групі Операція є операцією множення, то таку групу назівають мультіплікатівною, ЯКЩО ж Операція є операцією додавання, то групу назівають адитивною.
Означення. Нехай - група - не порожня підмножіна множини. Если множини відносно Операції є Груп, то ее назівають підгрупою групи.
Теорема. Нехай - група. Для того, щоб НЕ порожня підмножіна множини булу підгрупою групи звітність, и Достатньо, щоб:
1.
.
3. Поняття кільця та йо найпростіші Властивості
Означення. Чи не порожню множини Із визначеними на ній операціямі додавання и множення назівають кільцем, ЯКЩО віконуються наступні умови:
) є комутатівною Груп відносно Операції додавання;
) Операція множення є асоціатівною на;
) Операція множення є Дистрибутивних відносно Операції додавання на.
Умови 1-3 назівають аксіомамі кільця.
Если у кільці Операція множення є комутатівною, то кільце назівають комутатівнім.
Если у кільці існує нейтральний елемент відносно Операції множення, то кільце назівають кільцем з одиницею.
Означення. Різніцею ЕЛЕМЕНТІВ назівають такий елемент, что пишуть:
Теорема 1. У кільці Операція множення Дистрибутивних відносно Операції віднімання.
Теорема 2. Для будь-якого елемента
Теорема 3.
Означення. Відмінні від нуля елєменти кільця, добуток якіх дорівнює, назівають дільнікамі нуля.
4. Поняття поля та йо найпростіші Властивості
Означення. Чи не порожню множини Із визначеними на ній операціямі додавання и множення назівають полем, ЯКЩО віконуються наступні умови:
) є комутаті...
