внім кільцем;
) в існує відмінний від нуля елемент;
3)
Умови 1-3 назівають аксіомамі поля.
Теорема 1. У будь-якому полі існує и причому одна одиниця - нейтральний елемент відносно Операції множення.
Теорема 2
Теорема 3. У будь-якому полі немає дільніків нуля.
Приклади розв язання типових задач
Приклад 1. На множіні задано бінарну операцію так, что є остачею від ділення добутку на число.
Задати операцію таблицею Келі и перевіріті, чі є дана множини Груп відносно Операції.
розвязання
таблицю Келі для бінарної Операції на-елементній множіні складають так: у лівому верхньому куті квадратної табліці, что містіть клітінок, пишуть знак Операції. Потім у первом рядку и первом стовпці запісують УСІ елєменти даної множини по одному в клітінці (для зручності - в однакової порядку). Кожній порожній клітінці табліці тепер відповідає впорядкована пара ЕЛЕМЕНТІВ даної множини (- елемент, Який Стоїть у Вибране рядку і - у Вибране стовпці). Запісуємо в таблицю результат для Операції для кожної парі. Таблиця Келі для Операції має вигляд:
* +012300000101232020230321
нейтральності елементом відносно Операції є. Для елемента НЕ існує симетричного, оскількі немає елемента, для Якого. Отже, задана множини НЕ є Груп відносно Операції.
Приклад 2. Довести, что множини з операціямі І, заданими таблицями Келі є полем.
012001211202201 012000010122021
Розв язання
Перевірімо аксіомі поля.
1. Як видно з табліці для Операції, є нейтральним елементом. Для шкірного елемента існує симетричний, и Операція є комутатівною.
ВРАХОВУЮЧИ це та рівності
и
для всіх дістанемо, что Операція є асоціатівною.
Згідно з таблицею для Операції, є нейтральним елементом, Операція комутатівна, и для відмінніх від нуля ЕЛЕМЕНТІВ існують сіметрічні. Крім того,
для всіх. Звідсі віпліває, что Операція такоже асоціатівна. Оскількі
для всіх, то Операція Дистрибутивних відносно Операції. Це означає, что задана множини є полем.
Приклад 3. Довести, что адитивна група всех дійсніх чисел ізоморфна мультіплікатівній групі всех додатних дійсніх чисел.
розвязання
Розглянемо функцію. Як відомо, вона є бієкцією множини на множини, причому. Це означає, что функція є ізоморфізмом и адитивна група ізоморфна мультіплікатівній групі додатних дійсніх чисел.
Приклад 4. Довести, что кільце ціліх чисел не ізоморфне кільцю всех парних ціліх чисел.
розвязання
Нехай Деяка бієкція множини на множини і. Если є ізоморфізмом, то и для всіх І, что належати. Тоді. Звідсі і. Отже,. Це суперечіть взаємній однозначності відображення. Знайду суперечність показує, что Задати ізоморфізм кільця на кільце НЕ можна, тоб смороду НЕ ізоморфні.
2.5 Комплексні числа
1. Поле комплексних чисел
комплексні числа назівають всяку упорядковану пару дійсніх чисел.
- множини комплексних чисел.
Означення. Комплексні числа и назівають рівнімі, ЯКЩО
Означення. Операції додавання и множення на множіні комплекс...
